1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题及答案1．解方程x13x.解：将两边平方，得x2-1=9-6x+x,即x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,∴x=2,x=5经检验x=5是增根，故原方程的解是x=210212．计算22221解:原式221.3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg4513210解：lg45=lg=0.8266221sin24．证明(1tg)2cos2cossin2cos22sincossin21sin2证:(1tg)2coscos2cos2原式成立5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程解：由x+y-7=03x-y-1=0,解得x=2,y=5过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-36．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100100[(1.2)41]1001.0736=536.8(万元)1.210.27.已知二次函数y=x2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标解：如图（列表，描点）略y(0,5)x=38．一只船以20海里/小时的速度向(1,0)(5,0)Ox正东航行，起初船在A处看见一灯(3,-4)塔B在船的北450东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300B220ACsinACB2202(海里).1sinB2150由正弦定理可得4509．有一个圆内接三角形ABC，∠ACA的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB证：联接EC,在△ABD和△AEC中，∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，A∴△ABD~△AEC,DBCE∴AD·AE=AC·ABx2y210.当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆1有一个交点？有两169个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：y=x+m……………………………①x2y21169……………………………②将①代入②得x2(xm)21,整理可得25x232mx(16m2144)0,169其判别式为(32m)2425(16m2144)576(25m2)直线与椭圆有一个交点的充要条件是m5,这时直线与椭圆相切.直线与椭圆有两个交点的充要条件是:m2250即m5,这时直线与椭圆相割.直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m2+25<0,即|m|>5参考题x2sin(x0)f(x)x的导数.1．（1）求函数0(x0)x2y2(2)求椭圆1绕x轴旋转而成的旋转体体积a2b2f(x)(x2sin)2xsinx2cos()2xsincos.xxxx2xx当x0时,x2sin0f(x0)f(0)f(0)limlimxlimxsin0.x0xx0xx0x2xsincos.(x0)f(x)xx0(x0)(2)旋转体的体积2aax4Vy2dxb2(1)dxab2.aaa23解：（1）当x≠0时，2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x处连续的定义0（2）试证明：若f(x)在点x=x处连续，且f(x)>0,则存在一个x000的（x-δ，x+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>000（1）答：略（2）证：由已知f(x)在点x=x处连续，且f(x)>0，所以，由定义，00对于给定的ε=f(x)/2>0，必存在δ>0,当|x-x|<δ时，有|f(x)-00f(x)|<f(x)/2,从而f(x)>f(x)-f(x)/2=f(x)/2>000000即在（x-δ，x+δ）内处处有f(x)>000