PAGE\*MERGEFORMAT10PAGE\*MERGEFORMAT10离散两点最大值和最小值问题知识定位离散量的最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，在数学竞赛中常常扮演着“押台”角色。所谓离散量的最大值和最小值，具体地说是指以整数，点，线，圆等离散量为背景，求满足某些条件的最大值和最小值。它的解法与求函数的最大值和最小值的方法是完全不同的，实际上，对于这类非常规的最值问题，尚无一般的方法，对不同的题目需用不同的策略和方法，因此难度较大。知识梳理知识梳理1.离散两点最大值和最小值问题解离散量的最值问题，虽无一般方法，但我们通常是从这两方面考虑的，即论证与构造。先论证（求得）该量变化的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能达到。这样便求得了该离散量的最大值或最小值。但“构造”对学生来说是一个难点，常常需要“创造”，这也是这类问题受命题者青睐的原因之一吧。下面我们通过“问题”来介绍解决这类问题的方法。方法1：枚举法方法2：逐步调整法方法3：估计，构造例题精讲【题目】设正整数n是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求n的最小值。【答案】32400【解析】设n的质因数分解式为其中是n的不同质因数，是正整数，于是n的正整数因子的个数为所以所以n最多有三个不同的质因数，为了使n最小且是75的倍数，n的质因数取之集合{2，3，5}，且3至少出现1次，5至少出现2次，即：（4，4，2），（4，2，4），（2，4，4），（0，4，14），（0，14，4），（0，2，24），（0，24，2）。当n最小时，取组合（4，4，2），此时n为32400。【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】【答案】【解析】由于把49写成10个正整数的和，写法只有有限种，所以一定有一种使得达到最大值，也一定有一种使得达到最小值。先求最大值：再求最小值：【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别得了23，14，11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？【答案】29【解析】【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】从任意n个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n的最小值。【答案】13【解析】任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数。又1,2,…,12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数。综上所述，至少需任取13个数才能满足题意。【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【题目】有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分；……，如此下去，若最后得到了34个六十二边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？【答案】2005【解析】【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a，b，c（a<b<c），都有ab≠c。【答案】193【解析】【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】从1,2,3,…,16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的。【答案】11【解析】【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【题目】某学校举办足球循环赛，每个参赛队都与其他队各赛一场，胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分。已知仅有一个队积分最多，但他胜的场数最少，问至少有几个队参赛，才有可能这样？【答案】6【解析】【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】某市有n所中学，第i所中学派出名学生。全部学生总数为。看台上每一排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐同一横排。问体育馆最少要安排多少个横排才能保证全部学生都能坐下。【答案】12【解析】解答如下：【知识点】离散两点最大值和最小值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目