第主讲教师：尹霄丽2页•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义。§4.1引言•频域分析方法也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；∞f()tdt<∞∫−∞•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。∞1jωt−1北京邮电大学电子工程学院f(t)=F()ωedω=F[]f(t)2π∫−∞尹霄丽BUPT尹霄丽第第主讲教师：尹霄丽主讲教师：尹霄丽3页本章内容4页为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引•基础部分入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利•拉普拉斯变换的定义和收敛域（4.2）用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。•性质（4.3）•优点：•逆变换（4.4）求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换•应用时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。•微分方程求解；（4.3）•用拉普拉斯变换分析瞬态电路；（4.5）•缺点：•系统函数和零极点（4.6）物理概念不如傅氏变换那样清楚。•时域特性（4.7）•频率响应特性（4.8）•稳定性（4.11）BUPT尹霄丽•拉普拉斯变化与傅里叶变换的关系（4.13）BUPT尹霄丽第主讲教师：尹霄丽主要内容6页从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域北京邮电大学电子工程学院尹霄丽BUPT尹霄丽1第第主讲教师：尹霄丽主讲教师：尹霄丽一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换7页2．拉氏逆变换8页∞∞F()σ+jω=f()te−()σ+jωtdt=F()s=f()te−stdt1．拉普拉斯正变换∫−∞∫−∞−σt信号f(t),乘以衰减因子e(σ为任意实数)后容易满足对于f(t)e−σt是F(σ+jω)的傅里叶逆变换绝对可积条件依傅氏变换定义∞,:−σt1jωt+∞f()te=F()σ+jωedω−σt−jωt∫−∞−σtf(t)e⋅edtσt2πF1()ω=F[f(t)⋅e]=[]两边同乘以e∫−∞1∞f()t=F()σ+jωe()σ+jωtdω+∞∫−∞=f(t)⋅e−(σ+jω)tdt=F(σ+jω)2π∫−∞σ+=jωσss;若取常量，则d=jdω令σω+=js,具有频率的量纲,称为复频率。∞+∞σj积分限：对ωσ::⇒对，s取一个常数,积分路径∫∫−∞σ−j∞则∞为收敛域中的一条直线F()s=f()te−stdt∫−∞1σ+j∞所以f()t=F()sestds∫σ−j∞BUPT尹霄丽2πjBUPT尹霄丽第第主讲教师：尹霄丽主讲教师：尹霄丽3．拉氏变换对9页二．拉氏变换的收敛1页0∞⎧Fs()==Lft⎡⎤()ft()e−stdt正变换收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。⎪⎣⎦∫−∞记为：ROC(regionofconvergence)⎨1σ+∞j⎪ft()==L−1⎡⎤Fs()Fs()estds逆变换⎣⎦∫σ−∞j实际上就是拉氏变换存在的条件；⎩2πj−σt记作:f()t↔F()sf()t称为原函数，F()s称为象函数。limf(t)e=0()σ>σ0t→∞jω考虑到实际信号都是有起因信号：收敛轴∞所以F()s=f()te−stdt∫0收敛区采用0−系统,相应的单边拉氏变换为收敛坐标∞⎧−stσF()s=L[]f()t=f()tedtσ0O∫0⎪−⎨1σ+j∞⎪f()t=L−1[]f()t=F()sestds∫σ−j∞⎩⎪2πjs平面BUPT尹霄丽BUPT尹霄丽第第主讲教师：尹霄丽主讲教师：尹霄丽三．一些常用函数的拉氏变换1页13.单位冲激信号1页21.阶跃函数∞L⎡⎤δδ()ttt=⋅()ed−st=1∞1∞1⎣⎦∫0L[]u(t)=1⋅e−stdt=e−st=−∫00−−s−sROC：全s域平面收敛令lime−σt=0t→∞若t0>0得：ROCσ>0则2.指数函数∞−st∞−−−αtαtstL⎡⎤δδtt−=tt−⋅edt⎣⎦()00∫0()Lt⎡⎤eeed=−⎣⎦∫0−−st∞0−+αst=ee()1==(σ>−α)−+()αsα+s0−BUPT尹霄丽BUPT尹霄丽2第第主讲教师：尹霄丽主讲教师：尹霄丽n13144．tu(t)页说明页∞nn−stn=1−σtL[]t=t⋅edt1.满足limft()e=>0(σσ0)的信号称为指数阶信号；∫0t→∞−1⎛1