年第一期1983证明不等式的一种常用技巧张振敏在证明不等式的过程中,常常需要把不等式一由bZ=a“+eZ一ZaccosB(舍去正数边进行放大(或缩小),从而证得不等式的一边小一ZaecosB),.于(或大于)另一边这种把不等式的一边放大得bZ>aZ+c2.(或缩小)的技巧通常叫做“放缩法”在教学过故△=Zb’一4ae>2(aZ+cZ)一4ac程中有意识地培养学生自觉运用“放缩”这一技巧,=2(a一e)2)0,对于提高学生的逻辑思维能力是一个不可缺`少的内即△>.0容。所以,方程有两个不等的实根。...运用q放缩法”对不等式的一边进行放大或缩例2,△ABC的面积为s△,三边加b“求证,,.小常常按照下面两个思路进行:a+b’+c’)4了万△,,,第一个思路:若B>0则A+B>AA一B<A证用比较法。’即在不等式的一边A+B减去一个正数B,则式子变:a’+b’+c’一4了葱弓△,,,一小即A十B>A若A一B加上一个正数B则式子=2(b,+。,)一乏b。。osA2了几esinA,.,Ze’一ec变大即A一B<A所以在证明不等式时可在不=2〔(b+)b(osA+了万。niA)〕’,等式的一边加上或减去一个正数使不等式变大或变=2〔b’+cZ一Zbcsin〔A+30)〕,。。,J、而0(ain(A+30)(i,,,,·第二个思路利用不等式的传递性即若a>b:a’+b’+”,一4了万,△)2(b’+c,一Zbc).。,a。,,一,b>则>所以为了把不等式的一边放大可以=2(b。)2),.用比原式大的式子来代换,而为了把不等式的一边已IJa’+b’+c’)理亿百s八,。缩小可以用比原式小的式子来代换.、、.例3△ABC的三边为ab。试证:下面通过两种类型的题目具体说明这两个思.6···。·。,*:、路鲁警号音第一种类型:通过加上或减去某些正数使不等证.:。`nZ=1大或缩小。含一eosA式放自.例1在方程ax“一训Zbx+e=o中,a、b、c为b?+e仑一aZ钝角三角形的三条边,且b最长。求证:方程必有1-一乏成一一。不的aZ一e2两个等实根一(b).证所给方程的判别式为△=b22一凌ac怎样一么bc一e2,证明△>o?而(b)》0.由余弦定理有b’=aZ+c’一Zaceo。B.’“`“’,万毛J丁’.,B是钝角s<后.:一ieosBo,A_扭<<.“`in万(瓦.<厄讶即一ZaeeooB>034.数学a一`a,a“-。一_n一a即(b)b镇一Bb(b(b),“..,同理。,厄簇厄丽丽例8若n是自然<数求证:认葱十斌百十杯正.十…+材厅万云不i了<n(n十D。<·in、Ca·号2杯b,证对于由杯下瓦了万护士拿丝_>k0C1相乘得s豆nsinsin丁丁了簇厄=,可得斌``而尽言琴..a’+ZxZ+y`ax+’例4求证(b)()》(by),,杯`旦…a飞+ZxZ“补群证(b)(+y)而告Z二a2x2+bZyZ+aZZ+bxZ.y斌云而丁万二沙创旦二aZx之+Zaxby+b2y2+aZy艺一Zaxby+bZxZ譬,二戈ax+by)2+(ay一bx)“从而杯丁+丫石+杯死+一+杯五不i五干户.)(ax+by)2<旦丝土全竺塑生土兰:竺第二种类型根据题目需要将不等式的一边用~较大(或较小)的式子来代换_2些岁玉+”..例5在直角△ABC中,乙C二90“试问`3+b“与。3是什么关系?nn+1.(),`2+Z二“’解在直角△ABC中有b2.上式两端乘以。得aZo+bZc=o“。nn+nn+(1)(1)n,,=n+leabeaebaZ。+<()将分别换成和(>>)则由22bZc=。“可得一nn+(1)n,a““c“.代替将式子放大+b<2..例6在直角三角形ABC中,乙C=90“证明:。即丁+十十十云万一n+,.杯材百材正…杯奢不万<n(l)当n)2时an+b.成eo。n=,a“+2二e艺;一证当2时万此题用数学归纳法证明也要使用放缩法;,·一n=1当。)3时e。=c乞e。“即①时不等式显然成立,“=,+千+.二aZ么”一“c“一2。aZcn一2Z设k时斌了杯万…材f碑而(+b)e=+b②下+,.k1an一“·aZ+。一夕.“二a”+,(k)成立>bb石(.n=k十1,+十+c”an+几.则时能证出夕厄斌百…即>b.例7如果a》b,则十斌正石玉石)+忆夏k丁i灭下再厂n”一’