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#54#太原科技TAIYUANSCI-TECH2002年第1期2月26日出版p教学论坛证明不等式的常用方法1)山西潞安矿业集团公司中学雷小平摘要不等式的证明方法是多种多样的,并且在一个题目的证明过程中,往往不止应用一种方法,而需要灵活应用各种方法。给出了证明不等式的九种常用方法。关键词不等式证明常用方法中图分类号O12213文献标识码A文章编号1006-4877(2002)01-0054-02要培养和提高自己的证题能力,一是要熟悉证明不等式A例4已知0<A<P,证明:2sin2A[cos;并讨论A为何值的常用方法;二是要通过做题、思考来感悟和领会这些方法、2时等式成立。技巧,使其变为自己的证题能力。现将证明不等式的常用方sinA法归纳如下。[1]证明:假设不等式成立,于是4sinAcosA[,1-cosA1比较法1因为sinA>0,所以4cosA[,1.1作差比较法1-cosA2依据a>bZa-b>0(或a<bZa-b<0),通过计算不4cosA(1-cosA)[1,4cosA-4cosA+1\0,2等式两边的差,进行比较,得出所要证明的结论。(2cosA-1)\0。例1已知a、b、c为正数,求证:a3+b3+c3\3abc。这是显然成立的,且以上每步可逆,故原不等式成立。当证明因为333222P:a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab且仅当2cosA-1=0,即A=时,等号成立。31-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]24反证法\0,假设求证的反面成立,由此出发,通过合理的逻辑推理,所以a3+b3+c3\3abc。导出矛盾,从而说明原结论的反面不对,于是肯定原结论正1.2作商比较法确。aa例5已知对于任意的正数E,恒有a[b+E,求证a[b。依据若b>0,则a>bZ>1(或a<bZ<1)。bb证明:假设a>b,则a-b>0。例2设a、b为不等的正实数,求证:aabb>abba。a-ba-ba+baba-b取E=>0,有b+E=b+=<a,与已aba222证明:因为ba=,不论a>b>0或0<a<b,均有abb知矛盾。这说明假设a>b是不对的,于是a[b成立。aa-baabb>1,所以>1,故aabb>abba。5代换法babba根据欲证不等式的结构特点,引入某些新的变量,使要证2综合法的不等式变得简单易证。由已知条件或已被证明的基本不等式出发,运用不等式例6已知a、b、c为正数,且a2+b2=c2,求证:an+bn<cn的性质,推导出所要证明的结论。(n是大于2的正整数)。例3已知a、b、c为实数,求证:444222222Pa+b+c\ab+bc+ca\abc(a+b+c)。证明:由已知,可设a=csinA,b=ccosA,(0<A<)。2442244224422证明:因为a+b\2ab,b+c\2bc,c+a\2ca,因为0<sinA<1,0<cosA<1,三式相加得444222222。,a+b+c\ab+bc+ca所以0<sinnA<sin2A,0<cosnA<cos2A,(n>2)。同理可证222222。ab+bc+ca\abc(a+b+c)故an+bn=cn(sinnA+cosnA)<cn(sin2A+cos2A)=cn。3分析法6构造函数法先假设结论成立,由此出发,利用不等式的性质,推出已根据待证的不等式的结构等方面的特点,引入一个适当知条件或绝对不等式,如果上述过程的每一步是可逆的,则证的函数,运用函数的性质(如单调性、有界性等)来达到证明的明求证的结论是成立的。目的。|a+b||a|+|b|1)雷小平,女,1966年9月生,1989年7月淮北煤炭师例7设a、bIR,求证:[。1+|a+b|1+|a|+|b|范学院数学系毕业中教一级山西省襄垣县,,046204,x证明:由于不等式两边/同形0,可设f(x)=。收稿日期:2001-11-18,修回日期:2002-01-241+x雷小平:证明不等式的常用方法2002年第1期2月26日出版#55#x1x2因为当0[x1<x2时,f(x1)-f(x2)=-=a+a+,+a=a+a+a+,+a<1+x11+x2k+1个k个x1-x2<0,所以f(x)在[0,+]]上是增函数。2(1+x1)(1+x2)a+a+1<a+2a+1=(a+1)=a+1,又因为0[|a+b|[|a|+|b|,所以当n=k+1时,不等式成立。由(1)和(2),对任何正整数所以f(|a+b|)[f(|a|+|b|),n,不等式成立。|a+b||a|+|b|9数形结