《通信原理》第八讲§2.5窄带随机过程所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf〈〈fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。如用示波器观察其一个实现的波形，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。图2-7窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程ξt)(可用下式表示ξ()tat=+ξξξ()cos[ωϕct()]t,at()≥0（2.5-1）等价式ξξ()tt=−ccs()cosωttξ()sinωct（2.5-2）其中ξc()tat=ξξ()cosϕ()t（2.5-3）ξs()tat=ξξ()sinϕ()t（2.5-4）式中aξ()t及ϕ（ξt）分别是ξt)(的随机包络和随机相位，ξc()()t及ξst分别称为ξt)(的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。一、同相和正交分量的统计特性2设窄带过程ξt)(是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为σξ。1．数学期望E[ξ(t)]=E[ξc(t)cosωct−ξs(t)sinωct]=Et[()]cosξccsωtEt−[()]sinξωct（2.5-5）已设ξt)(平稳且均值为零，所以⎧Et[()]0ξc=⎨（2.5-6）⎩Et[()]0ξs=2．自相关函数Rttξ(,+=τ)E[ξξ()t(t+τ)]=Et{[ξccs()cosωtt−ξ()sinωct]⋅[(ξccsctttt++−++τωτ)cos()ξ(τωτ)sin()]}=+Rttccc(,τ)cosωωτtcos(t+)−+Rttcs(,τ)cosωωτctsinc(t+)−+Rttsc(,τ)sinωωτctcosc(t+)++Rttscc(,τω)sintsinωτ(t+)（2.5-7）式中Rc(t,t+τ)=E[ξc(t)ξc(t+τ)]Rcs(t,t+τ)=E[ξc(t)ξs(t+τ)]Rsc(t,t+τ)=E[ξs(t)ξc(t+τ)]Rs(t,t+τ)=E[ξs(t)ξs(t+τ)]因为ξt)(是平稳的，故有Rξ(,)()tt+τ=Rτ这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔τ有关。若取使sinωct=0的所有t值，则式（2.5-7）应成立RRttξ(τ)=+cc(,τωτ)cos−Rttcs(,+τω)sincτ（2.5-8）这时，显然应有Rc(,)()tt+τ=RcτRcs(,)()tt+τ=Rcsτ所以，式（2.5-8）变为RRξ()τ=−ccc()cosτωττωRs()sincτ（2.5-9）再取使cosωct=0的所有t值，同理有RRξ()τ=+s()cosτωττωcsccR()sinτ（2.5-10）其中应有Rs(,)()tt+τ=RsτRsc(,)()tt+τ=Rscτ由以上分析可知，如果窄带过程ξt)(是平稳的，则ξc()()t与ξst也必将是平稳的。式（2.5-9）和式（2.5-10）应同时成立，故有RRcs()τ=()τ（2.5-11）RRcs()τ=−sc()τ（2.5-12）可见，同相分量ξct)(和正交分量ξst)(具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有RRcs()()τ=sc−τ将上式代入式（2.5-13），可得RRsc()τ=−−sc(τ)（2.5-13）同理可推得RRcs()τ=−−cs(τ)（2.5-14）式（2.5-13）、（2.5-14）说明，ξct)(、ξst)(的互相关函数Rsc()τ、Rcs()τ都是τ的奇函数，在τ=0时RRsc(0)=cs(0)=0（2.5-15）于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到RRRξ(0)==cs(0)(0)（2.5-16）即222σσσξ==cs（2.5-17）这表明、和具有相同的平均功率或方差（均值为0）。ξt)(ξct)(ξst)(Q另外，因为ξt)(是平稳的，所以ξt)(在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在式（2.5-2）中有取t=t1=0时,ξ(t1)=ξc(t1)3π取t=t2=时,()()ξt2=ξst22ωc所以ξc()t1，ξs()t2也是高斯随机变量，从而ξct)(、ξst)(也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）可知，ξct)(、ξst)(在同一时刻的取