一个BFGS信赖域方法及其收敛性本文受国家自然科学基金（11161003），广西教育厅项目（201012MS013），广西大学科研基金项目资助（XJZ110632），高吸高校优秀人才资助计划。李向荣李向荣，女，（1979.9-），讲师，主要从事优化理论方法，金融模型等方面的研究。广西大学数学与信息科学学院，广西省南宁市，530004摘要：本文将一个修改的BFGS校正公式与信赖域技术相结合，得出一个新的算法。与其他算法相比，此算法具有比较理想的性质，其中之一：对一般凸函数而言，该校正公式能保持校正矩阵的正定性，在适当的条件下我们证明所给方法的收敛性，并给出数值检验结果。关键词：凸函数，BFGS方法，信赖域方法，收敛性学科分类号（GB/T13745-92）：110.74.ABFGSTrustRegionMethodandItsConvergenceLi-XiangrongCollegeofMathematicsandInformationScience,GuangxiUniversity,Nanning,Guangxi,530004,P.R.China.E-mail:xrli68@163.com.Abstract.Inthispaper,combingamodifiedBFGSupdateformulawiththetrustregiontechnique,weproposeanewalgorithm.Comparedwithotheralgorithms,thisalgorithmhasamoreidealproperties.Oneoftheseisthatforgeneralconvexfunctions,theupdatematixispositivedefiniteTheconvergenceofthegivenmethodisestablishedundersuitableconditions,andthetestresultsisgiven.KeyWords:convexfunction,BFGSmethod,trust-regionmethod,convergence..AMSsubjectclassifications(GB/T13745-92):110.741引言：对于无约束最优化问题（1.1）其中是连续可微函数，拟牛顿方法经常用来求解问题（1.1），其中，BFGS方法是最有效的拟牛顿法之一，其校正公式如下（1.2）其中，和分别是在和处的梯度值。关于此方法许多学者都对其做了研究。同时有许多性质更好的拟牛顿方法出现（见文献[1,2]等）。近来，Yuan和Wei[4]给出了一个修改的BFGS校正公式（1.3）其中-，+是步长，是搜索方向。他们得到了该方法对一般凸函数的全局收敛性和超线性收敛性。信赖域算法也是求解无约束优化问题的非常重要的算法，关于这类算法的研究见文献[6，7]等。本文就是将公式（1.3）与一般的信赖域算法相结合给出一个新的算法，此算法能保持校正矩阵对一般凸函数的正定性，新方法不但拥有全局收敛性，同时具有二次收敛速度，相对于文献[4]而言，理论上得到了更好的结论。本文采用下列记号：表示中的Euclid范数，是在处的梯度值，是由算法产生的点列，记。2算法以及正定性首先，我们给出解问题（1.1）的一般信赖域算法子问题的定义式为（2.1）其中，是在的Hesse矩阵或其近似，是信赖域半径，是试探步。实际上，求解信赖域子问题是非常重要的，文献[8]给出了相应的方法并讨论了其收敛性。用表示在第步的实际下降量，定义（2.2）为对应的预测下降量：（2.3）定义比值（2.4）我们利用[3]中所给的信赖域算法与（1.3）结合给出一个修改的BFGS校正的信赖域算法，详细步骤如下：算法1步骤0：给定对称阵；步骤1：计算。如果满足终止规则，则终止：否则转步骤2；步骤2：解子问题（2.1），得试探步；步骤3：计算和的值；步骤4：如果，则令;如果和，令；否则置；步骤5：若，置；否则置，利用校正公式（1.3）产生，令，转步骤1.由算法1我们可得到下面的性质。注1：我们知道用BFGS校正当时，保持正定性。下面分析两种情况中的如下[4]:情形1.如果，有（2.5）情形2.如果，则=其中（2.5）利用了凸函数的性质和Taylor展开式，即而（2.6）的第二个不等式利用了凸函数的性质为结合情形1和情形2我们不难得出，对一般凸函数而言，我们恒有成立，即（1.3）公式保证了校正矩阵的正定性。相应的可得到，若得到是正定的，，本文讨论的都是在为对称正定时产生的。上述算法与文章[3]和[6]中的经典方法进行简单比