。,28中等数学谈谈不等式证明中的“联想一猜测一证明”张增群在不等式的证明中,学生会遇到一些有十3t(t任R)有XZ+yZ+22=(一t)2。趣的问题鲁一2.卜一十22工,Z,;Z2+=+七例1若x>Ox>O且x十x=(衬、)(3L)14吕则X工xZ、七答.)琴k一422等l,ZkL水x=+x=,证设t一我们看到x’+y“+z“的值是随着七的增大而增大,当t=o时,即x=y=z时达一210t_(成<。r犬切、kZ王U扭汉,J、1且-又一.一2t)(一、)石x:x:=k十些有(。、、,2例4若ABC为三角形三内角求Z:,“k/k证:8‘。,n,n二一L一泛之.44t.st.s乒奋_,x,x:—容易看出的值是随着七的增大而’、、,证:ABC均小于二,,,,,Zk,。_,__,-七=0x:二x二x,xZ不一二万下闷-·’小的·当时一即时,减、。,-一誉A一2”“‘1万一竺、,,一,“丫二号一一k一.一=,达.到极大---值芋“一一“一--一4/j(-i二石咬鱼{a(be)..例2若x,>O,xZ>0且x:x:=k,V艺Zbe丫bC.一x,+xZ2了k(旦~则).2了be(1)证设y二x工十x:=x,+-,则上同理可证Xl一“.2Zbx;一yx,十=0一CBk5In簇/(2)毛2侧e.b因x任R,有△=yZ一4k)0解得y成,,;snC一2了k(舍去)或y)2了k即x+x:i(3)2侧ab.)2侧k三式相乘即得这里,x:十x:的值是随着k的增大而增5n.sn21”。lZ,Z“ii一C8大的又从x十x=杯4k一(x一x)鑫旦镇22,x;=x:=、,x:+xZ当/k时达极小。=。一得到当insn一B2B一CZ2鱼一n.不难想到值2了k2.,十z=“十Z十25x+yxy2厂“2艺nn例3若k则沪口曰日门A一B2一C=i一‘时一一粤时~kZ6合乡于.3·‘“到极大值,—,(一点,这我们不妨先证令X=一‘y=一2七一豁去号镇誓承认它)。1984年第二期,上面几题尽管各题的条件和结论各不此式两边开。次方即得高中数学第三册,:。相同但有一个共同的特点函数中的变量的推论例l及例2只不过是这个结论“”,。都是对称出现的并且当这些变量都相的特例而已例3及例4的情况又如何呢?。,“”。等时函数的值都达到极值请读者思考,对此学生自然产生这样的联想和猜学生可能会产生这样的联想与猜测:从:、、测是不是这类问题都有这种规律?会不会例123的证明过程中,已经看到了它们,。有例外呢?我们说一般是这样的但对每,:.。Z_Z.,、、、,k“一k,一一~,,。的极值是侧而看不出例一结论都要证明否则就不可靠现在我专乐“”专:n们选择例1的推广来证明若个正数的4的极值是1/8,若题目不给出1/8,怎么_、、_,、_,_、,二。,」,、,一~_”·?_,“___k能知道呢和等于k则这个正数的积必不大于‘’言:。我们可以这样来解决这个问题,我先证下面理为此们的引、。。。、二饰,_,__,_n:a、、c、a、、CC引理若四个正数bd满足<1又灿二七。习苏匕1且,纵日吕l且百=万in万二一乙e名e,a+=+e,aeb<<d并且db则d<b。为一定值2=,一k盯证设a+=+ea=手5··=一dbk一1舍二i譬奋〔一Z+,梦k,k、/l+二,互一一‘C二0一d七b一(<t。。=一十。。2cn2.,,Z,,,〕舒k~如夸,k尹)ad=一Z二竺一一2=C铲铲<七则t<七b,44、一。一。下面证明“推广”.如粤叠。.二证设n个正数为xl,xZ,一,xn即当时取极大值。(i)当n=2时,已证(见例i)合号二,·‘n‘n2n=,x1xZx。。同理可得时一取(,设m时⋯、(斋)警号鲁号。成立极大;=,s‘n·。‘n一值时取极大则当nm十1时,由于这m+1个数中必有合号合号二、。,一、一k.。、、‘,。、、不大,刁/J数于一二、鳅丁币下丁值也即当有两个不相等时必nl+合警冬k。k,x。x、+1x,二镇)记孟;=二,111+1In+1取不到极大值只有当合号时.誓k‘二”一,X。x,n+x*,x孟,由引理+m1。in。‘n。‘n才取得极大值,此时知,x二x,十,簇x茄x茄+,,所以x,x:⋯x。合母履x.,:镇x;xZ⋯x二一,x撬x茄十:.但x,+x:=二二,从而得到·‘nS‘n一·+⋯+x。:+x