第4卷第1期广州大学学报(自然科学版)Vol.4No.12005年2月JournalofGuangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2005文章编号:1671-4229(2005)01-0001-06凸函数及其在不等式证明中的应用尚亚东,游淑军(广州大学数学与信息科学学院,广东广州510405)摘要:凸性是一种重要的几何性质,凸函数是一种性质特殊的函数,凸集和凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用.借助凸集引入凸函数概念,介绍了凸函数的基本性质,特别研究了凸函数的Jensen不等式在不等式证明中的应用.关键词:凸性;凸集;凸函数;Jensen不等式中图分类号:O174.13;O178文献标识码:A凸性是一种几何性质,也是一种代数性质.凸Kx1+(1-K)x2IA函数则是一类性质独特的函数.凸性和凸函数在或不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数Px1,x2IA,[x1,x2]<A.理经济学等应用数学领域都有很多应用.本文首从代数上看,凸集是子空间概念的推广.先借助于凸集概念引出凸函数定义,揭示凸函数定义4[1]设fB(a,b)yR为定义在R中的概念与凸性这一几何性质的联系.随后介绍凸函开区间(a,b)B={xIR|a<x<b}上的实值函数的几何直观描述、解析定义和凸函数的重要性数,这里a、b满足-][a<b[+].下列集合质.在此基础上,利用凸函数的Jensen不等式,证epif={(x,A)IR2|xI(a,b),f(x)[A}(1)明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等称为函数f的上图(epigraph).式,显示出凸函数在不等式证明中的重要性.最后进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用.1凸函数的定义及性质为了从较高的起点来给出凸函数的定义,清图1f(x)的上图晰地看出凸函数与凸性的联系,先给出凸集的两Fig.1Epigraphoff(x)个定义.定义1[1]某集合称为凸集,是指连接该集合由图1可以看出,函数的上图就是函数的图中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合像再并上图像上方的所有点.[1]中.定义5如果函数fB(a,b)yR的上图[1]是凸集则称为上的凸函数称为定义2设X是一个线性空间,x1,x2IXepif,f(a,b).f上的凹函数则是指是上的凸函数为任意两点,称[x1,x2]={xKIX|xK=Kx1+(1-(a,b)-f(a,b).由凸函数的定义可知函数图像上的两点的K)x2,KI[0,1]}为连接x1,x2的闭线段.:定义3[1]设X是一个线性空间,子集A<X连接线段使图像的连接该两点的部分在其下侧(如图2).称为凸集,是指对Px1,x2IA及KI[0,1],有收稿日期:2004-04-12基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034)作者简介:尚亚东(1963-),男,教授,博士,主要从事非线性偏微分方程研究.2广州大学学报(自然科学版)第4卷Px1,x2I(a,b),x+xf(x)+f(x)f(12)[12,22那么f是(a,b)上的凸函数.关于凸函数的导数性质,有如下结果.命题3[2]f(x)为区间(a,b)上的凸函数等价于下列条件之一:图2凸函数的几何直观图i)Px,xI(a,b),x<x,PxI(x,x),Fig.2Geometricgraphofconvexfunction1212012f(x)-f(x)f(x)-f(x)10[20,从几何直观上讲,也可采用如下直观描述性x1-x0x2-x0定义:即对于任何x0I(a,b)来说,f在x0处的左差商(1)如果某函数图像上任意两点间的弧段总不大于右差商.在这两点连线的下方则相应的函数称为凸函数,.ii)Px1,x2I(a,b),x1<x2,Px0I(x1,x2),(2)如果一个函数的图像上任一点的切线都f(x)-f(x)f(x)-f(x)21[01,在图像下方,则相应的函数是凸函数.x2-x1x0-x1下面命题说明凸函数也可用解析式来定义.即对于任何x1I(a,b),f在x1处的右差商当自命题1(a,b)上的函数f是凸函数的充分变量差分减小时不增.必要条件为iii)Px1,x2I(a,b),x1<x2,Px0I(x1,x2),Px1,x2I(a,b),x1Xx2,PKI(0,1),f(x1)-f(x2)f(x0)-f(x2)x-x[x-x,f(Kx1+(1-K)x2)[Kf(x1)+(1-K)f(x2)(2)1202证明设f是凸函数,即epif凸集,则对于任即对于任何x2I(a,b),f