Dec，2003山西经济管理干部学院学报2003年l2月Vo1．11No．4JOURNALOFs}{|IS1I观OFECfCIOlMlCMAAlⅣ匝T’第11卷第4期凸函数的性质及其在不等式证明中的应用口郝建华(山西青年管理干部学院，山西太原030001)【摘要】本文通过对凸函数的定义、性质的描述，主要研究其在不等式证明中的应用，举例说明解题思路与证明方法，并且证明了几个常见的重要不等式。【关键词】凸函数；琴生不等式；许瓦尔兹不等式；闵可夫斯基(Minkowski)不等式；霍尔德(H61der)不等式lder)【中图分类号】O17【文献标识码】A【文章编号】1008—9101(2003)04—0083—03函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，论断互相等价：把握区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确的1。厂为I上凸函数，描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析。2为J上递增函数，凸函数是一类重要的函数。凸函数在不等式的3。对J上任意两点z1，z2，有f(z2)≥f(z1)+研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的厂(z1)(oZ"2一1)特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。论断3。的几何意义是：一、凸函数的定义曲线Y=()总在它的任一切线的上方。其精确定义是：定理2．3：设厂为J上二阶可导函数，则厂为J上设厂为定义在区间J上的函数，若对J上任意两凸函数的充要条件是在J上厂(z)≥0关于凸点zl、z2和实数∈(0，1)，总有f(l+(1一函数的理论基础主要是由琴生于1906年左右所奠)z2)≤Af(z1)+(1一)f(z2)则称_厂为J上的凸立。著名的瑟生不等式，是很多不等式的起源。作者函数，反之，则称为凹函数。将在以后的论文中解释。如上式中不等式改为严格不等式，则相应的函三、凸函数的性质在不等式证明中的应用数称为严格凸函数或严格凹函数。(一)两个重要不等式容易证明：若一厂为区间J上的凸函数，则厂为例1：霍尔德(H61der)不等式区间J上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。(1)对任给的口，≥O，(i=1，⋯，)。证明：二、凸函数的性质引理2．1：厂为J上凸函数的充要条件是：对J上骞i：1口≤(i=1Ctip)(i=1biq)，1+1q=l(p>1)；(2)P，q定义如前，f()，g(z)在[口，b]上可任意三点SU1<X2<z3，总有兰≤积，证明：三二其几何意义是：f为凸函数的z3一z2rfIJf(z)g(z)Jdx≤{rfl『厂(z)『dx}{充要条件为在曲线Y=f(oZ")上自左至右依次任取』r^I1三点P、Q、R，上式表明PQ连线的斜率不大于QR{lIg(z)Id5}连线的斜率。证明：(1)令_厂(z)=z(P>1)，z∈(0，1)，贝U定理2．2：设厂为区间J上可导函数，同是下述由f()凸，得对任意一组实数z一，z，令P=收稿日期：2003．10．12作者简介：郝建华(1969一)女，山西原平人，1992年毕业于山西大学数学系数学专业，现工作于山西青年管理干部学院。2003年12月Dec。2003第11卷第4期郝建华：凸函数的性质及其在不等式证明中的应用VoI．11No．4注：此不等式。‘f∑qk=rP∑qk=r(愚=1，2，⋯，，z)则有I_一l≤l一记仿上例(2)的证明可知有连续情形，即积分形：∑qjl∑qJ∑{I-厂()g()Id}≤{JI-厂()td}q=，则吉+吉=1，于是上式变为k=lq肛≤+{Ig()Id}(q肛){(q)若取口：q．，：此不等式在泛函分析空间中很有用。(二)凸函数在初等不等式证明中的应用q女(愚：1，2，⋯，，z)例3：对任意实数口，6有e2≤(ed+)则有∑口≤(∑口)(∑bkq)证明：设Y=，则Y=>0∈(一。。，+o。)故Y为(一o。，+o。)上的凸函数，由凸函数定义：注：=q=2时，即得柯西不等式：∑口；∑b对1=口，2=b，={，有≥(∑口b)(吉口+(1一1)6)≤吉(口)+(1一ly(b)(2)将[口，6]，z等分，设&∈[，k_l即e≤1(ea+)，由(1)注：此例直接应用定义，确定的值便可。得，∑(flg(l≤{∑l-厂(l}例4：设>0(i=1，2，⋯，，z)。证明：{lg(&)l}两边同时乘以，由+吉=k=l≤∑I-厂(IIg(^=1当且仅当全相等时，等号成立。证明：令-厂()=一z，则厂()=>0当{骞·．∈(0，+O0)故-厂为(0，+O0)上的凸函数，由凸函令，z—o。，由-厂()，g()的可积性得lf0I-厂()10数的等价定义，得≤厂()≤gc·