最优化习题答案.doc
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1.1设经验模型为,且已知N个数据,.选择,和,使按模型计算出的值与实测值偏离的平方和最小,试导出相应的最优化问题。解:1.2(1)所以梯度为:Hesse矩阵为:(2)所以梯度为:Hesse矩阵为:习题1.3设有向量值函数求在任一点的Jacobi矩阵.解:有定义1.3.3可知,======所以1.9判断下列函数是否为凸函数或凹函数:(1)解:Hesse矩阵:=不是凸函数也不是凹函数。(2)解:Hesse矩阵:=不是凸函数也不是凹函数。2.2求出函数的所有平稳点,问那些是极小点?是否为全局极小点?①②由①②得,x1=0,-1,得到三个平稳点:(0,0),(-1,-1),(,)点(0,0)时顺序主子式:4>04>0原矩阵为正定矩阵点(-1,-1)时顺序主子式:4>04>0原矩阵为正定矩阵点(,)时顺序主子式:1>0-2<0原矩阵为非正定矩阵(0,0),(-1,-1)是极小值点,但不是全局极小值点2.3判断是否为的局部解?是否为全局解:将代入上式中可得:。顺序主子式都大于零,所以可知为正定的,根据定理可得是局部解。又因为此函数为凸函数,切,则,也是全局解。2.4设是正定二次函数,证明一维问题的最优步长为.解:由极值的必要条件可知是方程的非负跟。2.5考虑问题,取初始点,步长,用确定搜索区间的进退法求出.解:3.1用最速下降法求解问题:,取初始点,允许误差。解:由于,因此若,则停,;否则,,令。由于本题中,所以有又可得:求导得,令,得最优步长,从而。再进行下一次迭代,此题数字不好算,没做完。3.3用Newton法求解问题:解:得所以4.4(1)解:构造Lagrange函数①②接下来按同样的方法讨论其他的14种情况4.6求下列约束问题的K-T点(1)①a)则∴此点非K-T点b)此点为K-T点②a)b)(复杂算不出来)4.9用一阶必要条件确定问题的局部最小值点。解:拉格朗日函数讨论:最终可求得最优解。5.15.3用有效集方法求解下列问题s.t.取初始可行点解:变为标准型:s.t.计算相应的等式约束问题为s.t.由等式约束问题的一阶必要条件得到求解方程组得到,所以不是最优解。进行第二轮计算,相应的等式二次规划问题为s.t.相应的一阶必要条件为求解方程组得到,将.进行第三轮计算,相应的等式三次规划问题为s.t.相应的一阶必要条件为求解方程组得到,所以不是最优解。进行第四轮计算,相应的等式四次规划问题为s.t.相应的一阶必要条件为求解方程组得到,所以是最优解。6.2(1)解:构造外罚函数6.2(2)用外罚函数法求解以下约束问题(2)6.3(1)用外罚函数法求解一下约束问题:s.t..最优解:,,构造外罚函数=,,利用解析法求解令得到破坏约束点再令得,就是原问题的最优解。6.3(2)下一页