专题2函数性质及应用（2）【高考趋势】函数的刻划一般是从两个方面：一是式，二是形，两者常需相互转化，互要呼应，对于基本等函数的组合与复合，若作图较为方便，一般最好借助图象直观解题；若作其图象较为困难，则要挖掘问题的内在性质解题。由于新课程中导数的内容更加丰富，因此利用导数研究诸如y=x-lnx的单调性、最值及解（或证）不等式等问题，是学会研究函数的重要方法之一，也是近年来高考命题的主要方向之一。【考点展示】1、定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T，T]上的根的个数记为n，则n至少为。2、设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)=f(2008-x)，则f(x)有对称轴为；若f(2008-x)=-f(2008+x)，则f(x)有对称中心为3、若f(x)=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，则m的取值范围是4、若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是5、函数y=f(1+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于对称。对于任意实数满足条件，若则_______________。7、若是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是【样题剖析】例1、定义在R上的函数f(x),对于任意x，yR，均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0。（1）求证：f(0)=1;（2）求证：y=f(x)是偶函数；（3）若存在常数c，使f()=0成立，求证：函数y=f(x)是周期函数。例2、已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。例3、已知函数f(x)=ex-kx,xR(1)若k=e，试确定函数f(x)的单调区间；（2）若k0，且对于任意x≥0，f(x)0恒成立，试确定函数k的取值范围。例4、设a≥0，f(x)=x-1-ln2x+2alnx（x0）（1）令F(x)=xf(x)，讨论F(x)在（0，+∞）内的单调性并求极值。（2）求证：当x1时，恒有xln2x-2alnx+1【总结提练】1、对于抽象函数问题，必须掌握常规函数方程的意义，如考点展示题2，f(x)=f(2008-x)表示函数y=f(x)的图象关于直线x=1004对称，f(2008-x)=-f(2008+x)表示函数y=f(x)的图象关于点（2008，0）对称。一般地，f(a+x)=f(a-x)表示了函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，f(a+x)=-f(a-x)表示了函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称，更一般地，f(a+x)=f(b-x)表示了函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，f(a+x)=-f(b-x)表示了函数y=f(x)的图象关于点（对称。2、判断函数的单调性，求函数的最值（极值），利用其单调性证明不等式等是近几年高考中的高频试题（如例2、例4），尽管有些函数的图象不能准确画出，但利用导数大致记得划其形状，即画出示意图，在解题中尤为重要。【自我测试】1、已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，若x0时f(x)0，则x0时，比较f(x)与0的大小，必有f(x)0。2、在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[-2，-1]上，在区间[3，4]上。（单调递增/单调递减）。3、设f(x)=g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，+∞），则g(x)的值域是4、已知f(x)=asinx+x2+2x-3，f(2)=3，则f(-2)=5、已知集合A={x|-1≤x-a≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}，若A∩B=φ，则实数a的取值范围是6、已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=7、已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3（1）当a=4,2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数y=f(x)取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值。（2）求a的取值范围，使得函数y=f(x)在R上恒为增函数。8、如图，在函数y=lgx的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别为m，m+2，m+4（m≥1）。（1）若△ABC面积为S，求S=f(m)；（2）判断S=f(m)的增减性，并求S的最大值。9、已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a,bR，都