Acomprehensivesummaryoflimitexercises—3rdEdition—极限求法大总结（第三版）前言/PREAMBLE我相信大家在第一次学习大学数学时，无论学的是高等数学还是数学分析，遇到的第一个难点可能都是极限部分.我们的教科书之所以把极限这一章节排在如此靠前的位置，是因为极限理论确实在整个严格的微积分中都有着不可撼动的地位.具体来说，函数的连续性是用极限来定义的，函数的导数是用极限来定义的，定积分是用极限来定义的，偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分，全是用极限来定义的.因此只有把严格的极限的概念阐述清楚，才能产生后面精彩纷呈的内容.其实，历史告诉我们，严格的极限概念在人们初创微积分时并没有出现得很及时，牛顿等人在这件事情上走了一些“弯路”，不过好在后来柯西等人最终阐明了严格的极限概念，使得整个微积分体系日趋严密.虽然在历史上，严格的极限理论出现较晚，但对我们来说，它却是整门课程的基础，是我们翻开教材后首先映入眼帘的部分.心理学上有个概念叫“首因效应”，说的是，人与人之间的第一印象对以后的交往活动产生的影响是巨大的.这个效应不仅适用于人与人，人与事物也适用.极限理论就是我们与高数或数分见面后学习的第一件事情（可能教材在极限前面还有一些内容，不过我相信那都很容易），所以我们极有必要把这一部分学好，利用好首因效应.如果这一部分学得好，可能你会对整门课程的印象都是好的，愿意学它；反之，可能你会对整门课程的感觉都是糟糕的，不愿触碰.这也是我们从心理学角度出发对学好极限理论的重要性所作的简单分析.然而，很多人对极限的定义并不理解.其实，如果说得通俗一点，极限就是这么一个东西：当自变量越来越靠近某个值，数列值或函数值越来越靠近另一个值，要多靠近就有多靠近，这个值就是极限.教材上为什么不能这么写呢？数学需要严格.什么是“越来越”？什么是“靠近”？什么叫“要多靠近就有多靠近”？多近算近？这些都是不严格之处.因此，我们才有了极限的严格定义，通过最“数学化”的方式描述了一个其实很好理解的概念——用“任意”“存在”这样的逻辑语言表达了“要多靠近就有多靠近”这样一层意思.请读者仔细品味.考虑到极限理论的重要性，2016年9月，我萌生了写这本《极限求法大总结》的想法，当然，这本书没有涉及到极限的方方面面，只是介绍关于极限的基本知识以及如何利用它们来“求”极限，对于一些关于极限的其他综合问题，没有较多地提及.2016年10月，第一版诞生了，但是这个版本非常简略，内容较少.直到2018年8月，我决定再次修订一下文本内容，很快第二版完工了，在第一版的基础上，我修改了一些说法，扩充了一些内容.2018年10月，再次动工修订第三版，这一次，我对文章内容做了大幅度修改与增添，页码数已经是上一版的两倍多.2019年1月，第三版修订结束.以上是我写这本书的原因和简单写作历程.依我看来，求极限的能力大致能分为五级水平.第一级，入门级水平.这级水平对应的能力是，对极限仅能作一些简单的判断，不能很好地利用各种定理进行极限计算，仅仅停留在对极限概念的初步认识阶段.处在这个水平的人，若想提升能力，大可先阅读最基础的微积分教材，掌握最基本的知识，做基础练习.在掌握知识的时候，应当留意课本上的每一句话，定理的每一个使用条件，如“两函数的和的极限，想要拆成两个极限，必须保证极限都存在”“在加减运算中，不能使用等价无穷小替换的方法”等等.微积分是一门严谨的学科——更应当说，数学是一门严谨的学科，容不得半点不精确.第二级，非数学专业本科水平.处在这个水平的人，大致可以较好地对付学校的期末考试，能够掌握许多求极限的方法，也可以相对灵活地选择合适的方法来计算极限.想要达到这个层级，只需要在课堂上认真学习，把课本上的每个定理与每种方法学明白，把在学习过程中出现的不懂的题目搞懂即可.第三级，非数学专业考研水平.处在这个水平上的人，已可以轻松解决考研难度的问题，已经具有较高的水平.但常常现实是，有些题目一旦变得复杂，则可能会出现计算失误或无法计算的问题.这时若想提升能力，达到这个层级，就需要掌握更进一步、更先进的方法，如拉格朗日中值定理、定积分方法、压缩映射原理等等，做更加有难度的题目.当然，这些方法在本书中都有详细介绍.第四级，数学专业与竞赛水平.处在这个水平的人，已经可以相当灵活地应对各种极限问题，方法已经积累了很多，已经可以算是领域内的高手了.如果想要达到这个能力层级，那就需要往专业和竞赛方面发展，这时可以学习一些比较新奇的方法与定理，如施笃兹定理、华里士公式、斯特林公式等等，并建议刷一本习题集，开阔思路，见多识广.但是，如果目标只是考研而非数学专业，如果不是为了兴趣，其实暂时无需掌握这些专业的