三大类递推数列通项公式的求法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）三大类递推数列通项公式的求法1一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1）这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．（2）这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.［例１］已知数列中，,求的通项公式．［解析］解法一．转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．转化为型递推数列．∵=2xn-1+1(n≥2)①∴=2xn+1②②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数的反函数为求数列的通项公式.[解析]由已知得，则．令=,则.比较系数，得.即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.（5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.［例３］设数列求数列的通项公式．［解析］∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．［例４］设求数列的通项公式．［解析］设用代入，可解出．∴是以公比为-2，首项为的等比数列．∴，即．（6）这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.2可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列［例５］设数列求数列的通项公式．［解析］由可得设故即用累加法得或［例６］在数列求数列的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令使数列是以为公比的等比数列(待定)．即∴对照已给递推式，有即的两个实根．从而∴①或②由式①得；由式②得．消去．［例７］在数列求．［解析］由①，得②．式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．3特殊的n阶递推数列［例８］已知数列满足，求的通项公式．［解析］∵①∴②②－①，得．∴故有将这几个式子累乘，得又［例9］数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．［解析］由①，得②．式①－式②，得，或，故有.∴,.将上面几个式子累乘，得，即．∵也满足上式，∴．巧用不动点求两类递推数列的通项公式聂文喜若满足方程，则称是函数的一个不动点，利用不动点可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列。下面举例说明。结论1若，为的不动点，满足，则是公比为a的等比数列。证明：因为为的不动点，所以，所以，所以，所以数列是公比为a的等比数列。例1.（2005年高考·北京卷）设数列的首项，且。记。判断是否为等比数列。解：。令，求出不动点，由结论1得：数列是公比为的等比数列。故是首项为，公比为的等比数列。例2.（2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式。解：由已知，得当时，，两式相减得当时，，即，也即又，所以，从而＋1，故对成立。令，求出不动点。由结论1得：数列{}是公比为2的等比数列，所以＝，故。结论2设，数列满足，且。（1）若有两个相异不动点，则数列是公比为的等比数列；（2）若只有唯一不动点，则数列是等差数列。证明：（1）因为由题设知。同理。所以所以数列是公比为的等比数列。（2）因为为的唯一不动点，所以＝x，即有唯一解，所以且＝。所以，所以数列是公差为的等差数列。例3.（2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和。解：由已知得，由方程，求出不动点，。于是，所以数列是公比为的等比数列所以，解得故数列的前n项和为例4.已知数列满足。解：由方程，求出唯一不动点，于是，所以数列是公差为的等差数列。所以解得。求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为