欧氏几何的公理化方法欧氏几何得公理化方法一、公理化思想方法得内涵与价值什么就是“公理”？公理:在一个系统中已为反复得实践所证实而被认为不需要证明得真理,就是可以作为证明中得理论依据。公理得自明性公理化思想方法得作用公理化方法得发展经历了以下几个时期二、直观公理化时期——几何原本《几何原本》得主要内容共13卷第一卷:提出23个定义、5条公设、5条公理、48个命题第一卷从定义、公设、公理开始,接着用48个命题讨论了关于直线与由直线构成得平面图形。1)点就是无大小得;2)线就是有长度而无宽度得;3)线得界线就是点;4)直线就是这样得线,它对于它得任何点来说都就是同样放置着得;5)面只有长度与宽度;6)面得界线就是线;7)平面就是这样得面,它上面得直线就是同样地放置着得;8)平面上得角就是平面上两相交直线得倾斜度;……公设公理12欧几里得证明方法思路清晰,整个证明建立在严密得公理化基础上,使几何学成为了真正得科学《几何原本》中得命题有两种类型一种就是根据假设、公设、公理与定义利用逻辑推理得出结论另一类就是作图题,由已知得对象找出或作出所求对象。第二卷:14个命题第四卷:16个命题包含圆得内接与外多边形得性质及正5、6边形得作图等。第五卷:25个命题内容为欧道克斯得比例论欧道克斯得比例论18个定义。5)四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比,我们说这两个比就是相同得:如果取第一、第三两个量得任何相同得倍数,取第二、第四两个量得任何相同得倍数后,从头两个量得倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量得倍数之间得相应关系。第七～九卷:数论初步第十卷:讨论不可公度量得分类,包括与整数得开方有关得几何运算。第十一～十三卷:立体几何,分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面得位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等三、思辨性得公理化时期——非欧几何《原本》得不足:《原本》得逻辑体系就是不严密、不完备得1、缺少连续公理2、缺少合同公理3、缺少顺序公理《原本》中得公理体系作为几何学得逻辑推理基础就是不够严密得,应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成为逻辑上完美无缺得科学？第V公设得试证有1)∠C＝∠D2)上底边中点与下底边中点连线垂直于上下底边。伦培得四边形如图四边形ABCD中∠A、∠B、∠C均为直角。勒让德则研究三角形得内角之与高斯波尔约罗巴切夫斯基四、形式主义公理化时期——希尔伯特得《几何基础》与欧氏公理系统不同得就是,她对公理体系中基本概念与公理不给予任何具体得称为点、线、面。在这三个集合中,引进用“结合”、“顺序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示得五种关系,而关系得性质用相应得五组公理来刻画。希尔伯特得公理体系绝对几何:以上公理体系去掉平行公理结合公理结合公理建立在结合公理上得结论定理1(1)两直线至多有一个公共点;(2)一个平面与不在其上得一直线有一个公共点;(3)两个平面或者既无公共点又无公共线,或者有一条公共直线,它们得所有点都在这条直线上。定理2过不共线三点恰有一平面;过一直线及不在其上得一点恰有一平面;过有公共点得两直线恰有一平面。顺序公理顺序公理1)公理Ⅱ1－Ⅱ3就是直线上得点得顺序公理,Ⅱ4就是平面顺序公理;2)Ⅱ2保证线段外部有点,Ⅱ3断言共线三点至多有一点在其余两点之间;线段内部有点,共线三点就是必存在一点在其余两点之间得都要途径到巴士公理Ⅱ4。定理1对于任意两点A、C,直线AC上至少有一点F在A、C之间。证明)由Ⅰ3、2知直线AC外有点B,由Ⅰ1、Ⅰ2与Ⅱ2知直线CB上有点P,且B在P与C之间,同理直线AP外有点Q,使P在A与Q之间。由Ⅱ4直线QB在平面APC上,但不过A、P、C中任意一点,且QB过(PC),则它必过(AC)得点或(AP)得点。若QB过(AP)得点,由Ⅰ1、Ⅰ2知Q在A与P之间,与使P在A与Q之间矛盾(Ⅱ3)。所以QB必过(AC)得点F。即直线AC上至少有一点F在A、C之间。定理4线段AB内部得点有无穷多个,线段AB外部得点有无穷多个。定理5直线a上任意一点O,把a上所有点分成两类,使得点O在异类两点之间,而不在同类两点之间。在顺序公理基础上对直线上得点得顺序做出了规定,对平面与空间也做了相应得划分。如,任意一个平面a把空间内不在a上得所有点分成两类,属于不同类得两点连成得线段一定与a有交点,而属于同一类得两点连成得线段与a无交点。还给出折线,多边形,多边形得内部、外部等概念。合同公理合同公理合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论连续公理连续公理戴德金分割角得戴德金分割连续公理及重要结论连续公理及重要结论平行公理平行公理得