欧氏几何的公理化方法欧氏几何的公理化方法一、公理化思想方法的内涵与价值什么是“公理”？公理：在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。公理的自明性公理化思想方法的作用公理化方法的发展经历了以下几个时期二、直观公理化时期——几何原本《几何原本》的主要内容共13卷第一卷：提出23个定义、5条公设、5条公理、48个命题第一卷从定义、公设、公理开始，接着用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。大家学习辛苦了，还是要坚持1）点是无大小的；2）线是有长度而无宽度的；3）线的界线是点；4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的；5）面只有长度和宽度；6）面的界线是线；7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；……公设公理欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成为了真正的科学《几何原本》中的命题有两种类型一种是根据假设、公设、公理和定义利用逻辑推理得出结论另一类是作图题，由已知的对象找出或作出所求对象。第二卷：14个命题第四卷：16个命题包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。第五卷：25个命题内容为欧道克斯的比例论欧道克斯的比例论18个定义。5）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。第七～九卷：数论初步第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。第十一～十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期——非欧几何《原本》的不足：《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的1、缺少连续公理2、缺少合同公理3、缺少顺序公理《原本》中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成为逻辑上完美无缺的科学？第V公设的试证有1）∠C＝∠D2）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。伦培得四边形如图四边形ABCD中∠A、∠B、∠C均为直角。勒让德则研究三角形的内角之和高斯波尔约罗巴切夫斯基四、形式主义公理化时期——希尔伯特的《几何基础》与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。在这三个集合中，引进用“结合”、“顺序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。希尔伯特的公理体系绝对几何：以上公理体系去掉平行公理结合公理结合公理建立在结合公理上的结论定理1（1）两直线至多有一个公共点；（2）一个平面和不在其上的一直线有一个公共点；（3）两个平面或者既无公共点又无公共线，或者有一条公共直线，它们的所有点都在这条直线上。定理2过不共线三点恰有一平面；过一直线及不在其上的一点恰有一平面；过有公共点的两直线恰有一平面。顺序公理顺序公理1）公理Ⅱ1－Ⅱ3是直线上的点的顺序公理，Ⅱ4是平面顺序公理；2）Ⅱ2保证线段外部有点，Ⅱ3断言共线三点至多有一点在其余两点之间；线段内部有点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理Ⅱ4。定理1对于任意两点A、C，直线AC上至少有一点F在A、C之间。证明）由Ⅰ3.2知直线AC外有点B，由Ⅰ1、Ⅰ2和Ⅱ2知直线CB上有点P，且B在P和C之间，同理直线AP外有点Q，使P在A和Q之间。由Ⅱ4直线QB在平面APC上，但不过A、P、C中任意一点，且QB过（PC），则它必过（AC）的点或（AP）的点。若QB过（AP）的点，由Ⅰ1、Ⅰ2知Q在A和P之间，与使P在A和Q之间矛盾（Ⅱ3）。所以QB必过（AC）的点F。即直线AC上至少有一点F在A、C之间。定理4线段AB内部的点有无穷多个，线段AB外部的点有无穷多个。定理5直线a上任意一点O,把a上所有点分成两类，使得点O在异类两点之间，而不在同类两点之间。在顺序公理基础上对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和空间也做了相应的划分。如，任意一个平面a把空间内不在a上的所有点分成两类，属于不同类的两点连成的线段一定与a有交点，而属于同一类的两点连成的线段与a无交点。还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等概念。合同公理合同公理合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论合同公理及重要结论连续公理连续公理戴德金分割角的戴德金分割连续公理及重要结论连续公理及重要结论平行公理平行公理的等价命题五、结构主