二十三幂函数【基础全面练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α等于()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(3,2)D．2【解析】选A.因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，所以k＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(α)＝eq\r(2)，即α＝－eq\f(1,2)，所以k＋α＝eq\f(1,2).2．(2021·北京高一检测)如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内()A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以f(2)＝2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(x)在定义域内先递减再递增，有最小值．3．(2021·湘潭高一检测)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，eq\f(1,2)三个值，则相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为()A.－2，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－2C．－2，2，eq\f(1,2)D．2，－2，eq\f(1,2)【解析】选B.函数y＝x－2，y＝x2，y＝xeq\f(1,2)中令x＝4得到的函数值依次为eq\f(1,16)，16，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为2，eq\f(1,2)，－2.4．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()A.n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0【解析】选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.取x＝2，则有2m>2n，得m>n，故n<m<0.【加固训练】当x∈(1,+∞)时,幂函数y=xa的图象在直线y=x的下方,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选C.幂函数y=QUOTE,y=x-1在(1,+∞)上时图象在直线y=x的下方,即a<0或0<a<1.二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·齐齐哈尔高一检测)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为______．【解析】因为幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－3m＋3＝1，且m2－m－1＞0，解得m＝2.答案：26．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________.【解析】根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．综上f(x)的解析式为f(x)＝x3.答案：f(x)＝x3三、解答题7．(10分)定义函数f(x)＝min{x2，x－1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，(1)试作出函数f(x)的图象，并求函数f(x)的解析式；(2)写出f(x)的值域．【解析】在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x－1(x≠0)的图象(如图).令x2＝x－1，解得x＝1，所以函数f(x)的图象如图所示：所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x2，0<x≤1，,x－1，x>1.))由图可知f(x)的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1)).【综合突破练】(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2021·扬州高一检测)已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0B．1C．2D．3【解析】选B.因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<