课后素养落实(二十二)函数的最大值、最小值(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为()A．2B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)B[∵函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).]2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为()A．[－6，－2]B．[－11，－2]C．[－11，－6]D．[－11，－1]B[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]3．(多选题)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是()A．2B．0C．－2D．1AC[当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.]4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为()A．[－2,2]B．(－2,2]C．(－2,2)D．[－2,2)A[f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤0C[令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图：∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.]二、填空题6．函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．－20[f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x∈[0，2]，,x－4，x∈[2，3]，))图象如图．由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0.]7．对a，b∈R，记max{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))函数f(x)＝max{x＋1,3－x}(x∈R)的最小值是________．2[画出函数f(x)的图象(图略)，故f(x)的最小值为2.]8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．[2,4][f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.]三、解答题9．已知函数f(x)＝2ax＋eq\f(1,x)(a∈R)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．[证明](1)∵a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)，取任意的x1，x2，且0<x1<x2≤1，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－x2－eq\f(1,x2)＝x1－x2＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2).(*)∵0<x1<x2≤1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，得(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在(0,1]上的单调递减．(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋eq\f(1,x)≥6恒成立，即2a≥6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2，eq\f(1,x)∈[1，＋∞)⇒eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2))max＝9⇒2a≥9，即a≥eq\f(9,2).10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f