习题解答习题一1-1｜?r｜与?r有无不同?drdt和drdt有无不同?dvdt和dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．??解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1；drdtdrdt（2）drdt是速度的模，即?v?dsdt.只是速度在径向上的分量.drdt?drdt?r?r?drdt??∵有r?rr（式中r叫做单位矢），则式中drdt就是速度径向上的分量，∴drdt与drdt不同如题1-1图所示.题1-1图?dvdv?(3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.dtdtdtdv∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以?dvdtdvdt?dv?dt????v?d?dt式中就是加速度的切向分量.?d??dt(???drdt与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝x?y22，然后根据v=drdt，及a＝drdt22而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即??dx??dy?v=??????dt??dt?22?d2x??d2ya=?2???及?dt??dt2???2????2你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，?drdx?dy???v??i?jdtdtdt2?22drdx?dy??a??i?j222dtdtdt???故它们的模即为v?v?v2x2y??dx??dy???????dt??dt??d2x?2??dt222a?a?a2x2y???d2y???2????dt????2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作v?drdtdrdtdrdt22a?drdt22其二，可能是将与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明drdt不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，drdt22也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中22?dr??d????r?的一部分?a径?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即??。2dt?dt???????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=3t+5,y=12t+3t-4.2式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．?解：（1）??12?r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm2???r1?8i?0.5j(2)将t?1,t?2代入上式即有m???r2?11j?4jm??????r?r2?r1?3j?4.5jm(3)∵??????r0?5j?4j,r4?17i?16j???????r4?r0?r12i?20j??1v????3i?5jm?s?t4?04∴(4)则(5)∵????dr?1v??3i?(t?3)jm?sdt???v4?3i?7jm?s?1??????v0?3i?3j,v4?3i?7j????v4?v0?v4?a????1j?t44m?s?2(6)??dv??2a??1jm?sdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m?s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．图1-4解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知l2?h?s22将上式对时间t求导，得2ldldt?2sdsdt题1-4图根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，∴v绳??dsdtdldt?v0,v