例析求函数值域的方法函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出y?f(x)的取值范围）例1．求函数y?x?2的值域。解：因为x?0，所以x?2?2，所以函数y?x?2的值域为?2,???。2二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如F(x)?af(x)?bf(x)?c的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数y??x2?4x?2（x?[?1,1]）的值域。解：y??x2?4x?2??(x?2)2?6，因为x?[?1,1]，所以x?2?[?3,?1]，所以1?(x?2)?92所以?3??(x?2)?6?5，即?3?y?52所以函数y??x2?4x?2（x?[?1,1]）的值域为[?3,5]。三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例4．求函数y?1?x2x?5的值域。122x?5(2x?5)?72??12?72，2x?5解：因为y?71?x2x?5??所以12?0，所以y??，2x?521?x2x?5所以函数y?的值域为{y|y??}。21四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如y?ax?b?cx?d（a、b、c、d均为常数，且a?0）的函数常用此法求解。例4．求函数y?2x?1?2x的值域。1?t22解：令t?1?2x（t?0），则x?，所以y??t2?t?1??(t?因为当t?1212)?2545454，即x?38时，ymax?，无最小值。所以函数y?2x?1?2x的值域为(??,]。五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y?x?kx?k?0?的值域（0?x?k时为鹾?x?k时为增函数））例5．求函数y?x?1?2x的值域。解：因为当x增大时，1?2x随x的增大而减少，?1?2x随x的增大而增大，所以函数y?x?1?2x在定义域(??,]上是增函数。21所以y?12?1?2?12?12，所以函数y?x?1?2x的值域为(??,]。21六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数y?x?12x?12的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y?1)x??(y?1)，2因为y?1，所以x??2y?1y?1（x?R，y?1），所以?y?1y?1?0，所以?1?y?1，所以函数y?x?12x?12的值域为{y|?1?y?1}七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数y?x?1?x?1的值域。y??2x,x??1?解：y?x?1?x?1，y??2,?1?x?1，?2x,x?1?2图像如右图所示，故原函数的值域为?2,???-1o1x除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x的二次方程F?x,y??0，通过方程有实根，??0，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。