分数函数的值域这里说的是二次即二次以下分式函数的值域，由于高二学了一阶导数，笔者见到不少学生学了导数之后，看到分式函数想都不想就直接求导做，毫无疑问是可以做出来的，但是，对于分式的导数，比原函数还要麻烦，如果函数很简单，用导数似乎有些大材小用，如果函数很复杂，求导之后就更加复杂，做起来也比较麻烦，因此，对于此类分式函数题目求最值，轻易莫求导！！！下面进入正题，这里说的分式函数大致以下几种形式：y=，y=，y=，y=其中y=与y=基本一致对于这个问题，一般来说可能会用到三个方法：分离常数、均值不等式、几何法（构造斜率）、反函数法、判别式法。反函数法和判别式法这里不再赘述，以下我们分别讨论首先，对于最简单的分式线性函数y=，反函数法在此不再赘述，即是反解出x，利用定义域求值域，这里说下分离常数法，这个方法很重要，要谨记例1：若x∈[-1,2)求函数y=的值域解一（分离常数法）：y===2+由x∈[-1,2)则y∈(-∞，1]分离常数的目的是为了将自变量“挤”到分母或分子，则函数单调性、值域显而易见解二（构造斜率法）：原式可看作点A（2,1）到点P（x，2x）的斜率，其中P在直线y=2x(x∈[-1,2))上，作出图像即可得到答案构造斜率法运用时要注意，若定点与动点连线中有x轴的垂线，则垂线应画成虚线，它是正、负无穷的分界线（斜率k=tanθ）反函数法略然后是分子或分母中出现二次，无论是在分子还是在分母，处理方法基本一致。同样用到类似分离常数的配凑方法，对于功底不好的同学，可以对一次式换元，例2求函数y==，x∈[0，2]解一：令t=x+2（t∈[2，4]），则x=t-2则y==分子分母同除以t后得，y=t+-6≥2-6（当且仅当t=时“=”成立）这里注意，由于均值不等式存在一正、二定、三相等的限制条件，如果符号和相等不能满足，那么就要另求他法了。解二：同上面构造斜率，只不过动点却是在开口向上的抛物线y=x²-2x上，这里的处理办法是，连接定点使与抛物线相切、及定点与给定区间端点，切点可用联立抛物线与直线方程，由判别式△=0可求，比较三点斜率定出值域若分子为二次，处理与上相似，只是注意构造斜率时，动点在开口向左或右的抛物线上。最后一种是分子分母均为二次，要先分离常数，转化为第二种类型例3：求函数y=（x∈[-2,1]）的值域解一：y==2+以下处理与第二种类型相同特别注意到，这里分子只有二次项的特殊情况，直接分子分母同除以x²，则分母转化为关于1/x的二次三项式，问题轻松解决。由于做得比较匆忙，过程不怎么到位，其他还有碰到三角函数，则可利用三角恒等变换以及三角的正余弦相互关系利用构造斜率求解等等方法，请读者自行探讨。原创：房周泉（风之天炼）2010年9月11日星期六23:43