第一章复数与复变函数§1.11、复数域2、复平面复数1、复数域1.1虚单位虚单位:实例:方程x2=?1在实数集中无解.为了解方程的需要,引入一个新数i,称为虚数单位.对虚数单位的规定:对虚数单位的规定:3、复数的模与辐角4、复数的乘幂与方根5、复数的应用举例(1)i2=?1;(2)i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.2虚数单位的特性:虚数单位的特性1.2复数的代数形式的定义复数的代数形式的定义:i-虚单位虚单位满足：满足：i2=-1i1=i;i2=?1;i3=i?i2=?i;i5=i4?i1=i;i7=i4?i3=?i;……对于?x,y∈R,称z=x+yi或z=x+iy为复数.实部记做：记做：Rez=x虚部记做：记做：Imz=xi4=i2?i2=1;i6=i4?i2=?1;i8=i4?i4=1;当x=0,y≠0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时,z=x+0i,我们把它看作实数x.一般地，一般地，如果n是正整数,则i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=?1,i4n+3=?i.特别当x=0,y=0时,0=0+0i.C={z|z=x+iy,x,y∈R}称为为复数集34当x=0,y≠0时,z=iy称为纯虚数;2例1实数m取何值时,复数(m?3m?4)+两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.部分别相等设：z1=x1+i·y1z2=x2+i·y2(m2?5m?6)i是(1)实数;(2)纯虚数.解令x=m?3m?4,2z1=z2?x1=x2,y1=y2复数z等于0当且仅当它的实部和虚部等于同时等于0.同时等于两个数如果都是实数,可以比较它们的说明两个数如果都是实数可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,大小如果不全是实数就不能比较大小也就是说,.是说y=m?5m?6,2(1)如果复数是实数,则y=0,由m2?5m?6=0知m=6或m=?1.(2)如果复数是纯虚数,则x=0且y≠0,由m2?3m?4=0知m=4或m=?1.但由y≠0知m=?1应舍去.即只有m=4.5复数不能比较大小!!!复数不能比较大小!!!611.1.3复数的代数运算设两复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,1.两复数的和z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2).两复数的和:2.两复数的积z1?z2=(x1x2?y1y2)+i(x2y1+x1y2).两复数的积:z1x1x2+y1y2x2y1?x1y23.两复数的商:z=x2+y2+ix2+y2.22222定理:定理全体复数关于上述运算做成一个数域.全体复数关于上述运算做成一个数域.称为复数域，表示.称为复数域，用C表示.即表示复数的四则运算满足以下运算律①加法交换律z1+z2=z2+z1②加法结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3③乘法交换律z1?z2=z2?z1④乘法结合律z1?(z2?z3)=(z1?z2)?z3⑤乘法对加法的分配律z1?(z2+z3)=z1?z2+z1?z378注解：注解：复数的减法运算是加法运算的逆运算复数的除法运算是乘法运算的逆运算复数的四则运算与实数的四则运算保持一致1.4共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.个复数称为共轭复数.z的共轭复数记为z,若z=x+iy,解则z=x?iy.例3将下列复数表示为x+iy的形式.71?ii?1?i?;(1)?.(2)+?1?ii?1+i?22(1?i)(1?i)1?i=?i,==解(1)21+i(1+i)(1?i)例2计算共轭复数=x+yi与z=x?yi的积z.(x?yi)(x+yi)=x2?(yi)2=x2+y2.结论：两个共轭复数z,z的积是实数.?1?i?(i)7i.??=?=?1+i?22i1?ii+(1?i)?1?2i=(2)+=(1?i)i1?ii1+i=97即：zz=x2+y2.(?1?2i)(1?i)31=??i.22210例4.i1+i+i?1i?2(i?2)(i?1)=解i(1+i)(i?1)+i1+i+i?1(1?3i)(?2?i)i2?i?2i+21?3i===i2?1+i?2+i(?2+i)(?2?i)=?2?i+6i+3i2=?1+i.(?2)2?i211计算i?2例5设z1=5?5i,z2=?3+4i,求解z1?z1?与??.z2?z2?(5?5i)(?3?4i)z15?5i==z2?3+4i(?3+4i)(?3?4i)=(?15?20)+(15?20)i71=??