第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的定义、性质及其计算§3.2柯西-古萨基本定理§3.3原函数与不定积分§3.4柯西积分公式*§3.5调和函数§3.1复变函数积分的定义、性质及其计算1复变函数积分的定义有向曲线设简单光滑（分段光滑）曲线C：zzt=()()α≤t≤β（1）若z()α为起点，z()β为终点，则zz()α→()β为正向；（2）若zz()α=()β，即C为简单闭曲线，则逆时针为正向。定义3.1设C为复平面上起点为A终点为B的有向简单光滑（分段光滑）曲线，函数wfz=()定义于C，分点Azz==01,,,znn−1,zB把C分成n个小弧段，在zk−1与zk之间的弧段上任取一点ζk(1,,)kn=，作和式：nnS=−∑f()(ζkkzzk−1)=∑f()ζkkΔzk=1k=1记δ=Δmax{|zk|}，则当δ→0时，若不论分点与ζ如何取1≤≤knk法，S趋于同一极限，则称该极限值为f()z沿C的积分，记为nf()zdz=limf(ζkk)Δz∫Cδ→0∑k=1注意：f()zdz表示沿曲线C正向的积分，f()zdz表示沿∫C∫C−曲线C反向的积分，f()zdz表示沿闭曲线C正向的积分。∫C复变函数积分的计算设f()z=+uxy(,)ivxy(,)在曲线C上连续，C的方程为zztxtiyt==+()()()()α≤t≤β，C的正向为t增大的方向，则f()zdz∫C=−++udxvdyivdxudyΔ+()()uivdxid+y∫∫CC∫Cβ=+uxt[][](),y()tivxt(),y()txti[]′′()+y()tdt∫α{}βΔf[]zt()z′()tdt∫α复积分计算公式的证明：设ζkk=ξη+ik，Δzxiykk=Δ+Δk则nn∑f()ζkkΔ=z∑[]uivxiy(,)ξηkkkkkk+Δ+Δ(,)ξη()k=1k=1nn=Δ−Δ∑[]uxvy(,)ξηkkk(,)ξηkkk+iv∑[](,)ξηkkΔ+xuk(,)ξηkkΔykk=1k=1f()zdz=−++udxvdyivdxudy∫C∫∫CCβ=−uxt[][](),yt()xt′′()vxt(),yt()yt()dt∫α{}β++ivxtytxtuxtytytdt[][](),()′′()(),()()∫α{}β=+uxtytivxtytxtiytdt[][](),()(),()[]′′()+()∫α{}注意：（）f()z在曲线C上连续，是积分f()zdz存在的充分条件；1∫C（2）若C分段光滑且CC=1∪∪Cn，则f()zdz=++f()zdzf()zdz∫∫CC∫C；1n（）f()zdz=+()()uivdxid+y反映了复积分与二元实3∫C∫C函数第二类曲线积分的关系；β（）f()zdz=f[]zt()z′()tdt则反映了复积分与定积4∫C∫α分的关系，是计算复积分的常用方法。例计算zdz，其中曲线C为点0到34+i的直线段；∫C14x2C为曲线y=上0到34+i的一段。292解：C1：zit=+(34)(0≤t≤1)；C2：ztti=+34(0≤≤t1)21(3+4i)7zdz=+(34i)t(3+4i)dt==−+12i∫∫C1022127zdz=+(3t4ti)(3+8ti)dt=−+12i∫∫C202由zdz=−++xdxydyiydxxdy，知积分与路径无∫C∫∫CC关。例计算zdz，其中（）曲线C为点0到1+i的直线段；（）∫C12C为0到1的直线段C1和1到1+i的直线段C2接成的折线。解：（1）C：zit=(1+)(0≤t≤1)11zdz==(1−+=it)(1idt)2tdt=1∫C∫∫00（2）C1：zt=(0≤t≤1)；C2：zit=1+(0≤t≤1)11zdz=+zdzzdz=tdt+−(1it)idt=+1i∫∫∫CCC12∫∫00由zdz=++−+xdxydyi()ydxxdy，知积分与路径∫C∫∫CC有关。dz例计算∫n+1，其中n为整数，曲线C为以z0为C()zz−0心，r>0为半径的正向圆周，即||zz−0=r的正向。iθ解：C：zz=+0re(0≤θ≤2π)dz22ππireiθdθi==ed−niθθ∫∫nninn+++11(1)θ∫C()zz−000rer2π⎧idθn=0