梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图11<BC<9。2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。图2∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。图3例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。图4则四边形ACED是平行四边形，即。所以二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。图5：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，从而BC=EC=5三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。图6连结BD,Rt△BAD≌Rt△BED，四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。图8：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。图9取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①所以②由①、②得AB＋CD=AD。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。图10三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例4、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解、分析：分别延长AE与BC，并交于F点，从而等到△ADE与△FCE是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。解：分别延长AE与BC，并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)∠AED=∠FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE