全国数学竞赛试题精选（每题6分，共120分）1.若x,y满足等式x=1+和y=1+且xy≠0，那么y的值是（c）（A）x－1.（B）1－x.（C）x.（D）1+x.2.互不相等的三个正数a,b,c恰为一个三角形的三条边，则用下列的三个数为长度的线段一定能作成三角形的是().(A)，，.(B)a2,b2,c2.(C).(D).解：根据“三角形任意两边和必须大于第三边”的定理，找到适当的特殊值：当a=3,b=4,c=5时，可以排除(B)（∵32+42=52）；也可以排除和(D)（∵1+1=2）；如果a=2,b=6,c=7时，则(A)也可以排除，（∵）.故选(C).3.计算++++…+结果为（）。A．10B．9C．8D．74.△ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.4005.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.则：n=______解：∵69≡90(modn)，90≡125(modn).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7(7是质数).∴n=76.已知a是实数且使a=,则x=＿＿0＿＿.7.已知＝8，则＝＿＿62＿＿.8.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=,∵y是实数，∴y2≥0.即≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－(x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.9.a取什么值时，方程无解？②有3个解？③两个解？解：画出函数y=和y=a的图象，它们的交点就是方程的解.∵直线y=a平行于横轴.∴①当a＜－1时，直线y=a与y=没有交点，即方程无解；②当a＝1时，直线y=1与.y=恰好有3个公共点，即方程有3个解.；③.当a=－1或a>1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.10.已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD.求证：AB＝AC.证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC.11.已知：求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），当x=0时，2＝－6A.∴A＝－.当x=3时，8＝15B.∴B＝.当x=－2时，8＝10C.∴C＝.12.已知：a+b+c=0,abc≠0.求代数式的值（1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：∵＝＝，∴＝－－－＝－＝0.13.四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道：A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.项目ABCD英语0011法语0110日语1000汉语1101解：用1表示会说，0表示不会说该种语言，答案列表如右：14.已知：且,都是整数.求a,c的值.解比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.16.解方程=x.解：设=y,那么y2=2x+2.原方程化为：y－y2=0.解得y=0；或y=2.当y=0时，=0(无解)当y=2时，=2，解得，x=.17.化简.我们把5－2写成2－2＋3＝－2＋＝（－）2.18.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）19、设关于x的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数与的生成函数的值；（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：（1）当x=1时，，∵，∴．（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上．设点P的坐标为（a，b）