高等数学竞赛练习题1、设，满足：证明：收敛，并求2、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.3、设，且在满足：，有（为常数）。证明：（1）在有界。（2）在上一致连续。4、设函数且f(0)存在,试确定常数a,b,c.5、设当时,可微函数满足条件，且，试证:当时,有成立.6、计算三重积分。其中是椭球体。7、讨论积分的敛散性。8、设在上二阶可导，求证：使.9、设f在上可微，且a与b同号，证明：存在，使（1）；（2）.10、设二阶可微，，证明：存在，使.11、设是定义在上的函数，.且证明：在上可导，且.12、设，且，证明：.13、设f在上二阶可微，，，则方程在内至少有一个根.14、（浙江师范大学2004）设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中都是非负常数，是内的任一点，证明。15、设.证明：，使.16、（2003高数一）将函数展开成的幂级数，并求级数的和.17、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，，，其中，(1)讨论F(t)在区间内的单调性.(2)证明当t>0时，18、（2004年上海交通大学）设收敛,且在上一致连续，证明=0.19、（2004年上海交通大学）计算下述积分：，其中D是矩形区域，。20、求曲线积分，其中与为正常数，L为从点沿曲线到点的弧。21、设函数f具有一阶连续导数，存在，且，，（1）确定，使处处连续；（2）对以上所确定的，证明具有一阶连续导数.22、设幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.23、求幂级数的和函数，并指出它们的定义域。24、设。证明：，并求其值。25、（2003高数一）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）26、设在[0，1]上具有二阶导数，且，求证：.27、设且，求证：级数条件收敛.28、设函数可微，,且满足求.29、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.30、已知，，，…，，….求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.