教材高考·审题答题（四）立体几何热点问题核心热点真题印证核心素养线、面位置关系的证明与线面角2019·Ⅰ文，19；2019·Ⅱ文，17；2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2018·天津，17；2017·北京·16数学运算、逻辑推理、直观想象线、面位置关系的证明与二面角2019·Ⅰ，19；2019·Ⅱ，17；2019·Ⅲ，19；2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；2017·Ⅱ，19数学运算、逻辑推理、直观想象教材链接高考——线面位置关系与空间角[教材探究](选修2－1P109例4)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．[试题评析]1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角．2．教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解．3．除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代数化．【教材拓展】已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，tan∠PBA＝eq\f(\r(6),3)，F为PC的中点，求二面角C－AF－D的余弦值．探究提高1.本题与教材选修2－1P109例4相比其难点在于不易找到二面角C－AF－D的平面角，或者说找到二面角的平面角对学生来说是一个难点，而利用空间向量，即找到相关平面的法向量来求二面角，就可化解这个难点，这也是向量法的优势所在．2．利用向量法解决问题时，要注意运算的正确性．【链接高考】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．教你如何审题——立体几何中的折叠问题【例题】(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[审题路线][自主解答]探究提高立体几何中折叠问题的解决方法解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化．【尝试训练】(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小．满分答题示范——立体几何中的开放问题【例题】(12分)如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为2eq\r(2).(1)若点E为PD上的点，且PB∥平面EAC，试确定E点的位置；(2)在(1)的条件下，在线段PA上是否存在点F，使平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为eq\f(1,14)，若存在，求线段PF的长度，若不存在，请说明理由．[规范解答][高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问中利用线面平行的性质证明线线平行，第(2)问中建系时证明PO，AC，BD两两垂直，以及建系后得到各点的坐标．❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分．如第(1)问中指出点E的位置，第(2)问中求两个平面的法向量和．❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证．如第(2)中计算λ的值以及计算线段PF的长度等．[构建模板]【规范训练】(2020·福州质检)如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．（1）求证：平面平面．（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．