人教版2013届高三一轮复习课时训练32:数列的综合应用.doc
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人教版2013届高三一轮复习课时训练32数列的综合应用1.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为()A.eq\r(2)B.4C.2D.eq\f(1,2)解析:选C.设数列{an}的公差为d(d≠0),由aeq\o\al(2,3)=a1a7,得(a1+2d)2=a1(a1+6d)⇒a1=2d,故q=eq\f(a3,a1)=eq\f(a1+2d,a1)=eq\f(2a1,a1)=2.2.(2011·高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为__________升.解析:设所构成数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a2+a3+a4=3,,a7+a8+a9=4,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1+6d=3,,3a1+21d=4,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(13,22),,d=\f(7,66),))∴a5=a1+4d=eq\f(13,22)+4×eq\f(7,66)=eq\f(67,66).答案:eq\f(67,66)3.(2012·黄冈调研)已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设cn=bn+8n+3,数列{dn}满足d1=c1,dn+1=cdn(n∈N*),求数列{dn}的前n项和Dn.解:(1)依题意得an=-2n-2,故a1=-4.又2Tn=6Sn+8n,即Tn=3Sn+4n,所以当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=3(Sn-Sn-1)+4=3an+4=-6n-2.又b1=T1=3S1+4=3a1+4=-8,也适合上式,故bn=-6n-2(n∈N*).(2)因为cn=bn+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),dn+1=cdn=2dn+1,因此dn+1+1=2(dn+1)(n∈N*).由于d1=c1=3,所以{dn+1}是首项为d1+1=4,公比为2的等比数列.故dn+1=4×2n-1=2n+1,所以dn=2n+1-1.所以Dn=(22+23+…+2n+1)-n=eq\f(42n-1,2-1)-n=2n+2-n-4.一、选择题1.(2012·武汉质检)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前7项和等于()A.7B.8C.27D.28解析:选A.在各项均为正数的等比数列{an}中,由a3a5=4,得aeq\o\al(2,4)=4,a4=2.设bn=log2an,则数列{bn}是等差数列,且b4=log2a4=1.所以{bn}的前7项和S7=eq\f(7b1+b7,2)=7b4=7.2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=15,S9=18,在等比数列{bn}中,b3=a3,b5=a5,则b7的值为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.2D.3解析:选B.在等差数列{an}中,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1+10d=15,,9a1+36d=18,))得a1=4,d=-eq\f(1,2),a3=3,a5=2.于是b3=3,b5=2,所以b7=eq\f(b\o\al(2,5),b3)=eq\f(4,3).3.(2010·高考福建卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()A.6B.7C.8D.9解析:选A.设等差数列的公差为d,则由a4+a6=-6得2a5=-6,∴a5=-3.又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2,∴Sn=-11n+eq\f(nn-1,2)×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当n=6时Sn取最小值,故选A.4.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64解析:选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除得eq\f(an+2,an)=2