双曲线与椭圆共焦点一．基本原理结论：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.证明：依题意，在中，由余弦定理得，所以，即.二．典例分析例1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）B．C．D．解析：设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴（亦可直接用上述结论），即，当且仅当，即，时等号成立，此时，故选：D例2．（2014年湖北卷）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2解析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭圆和双曲线的离心率分别为由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即即在双曲线中，①化简为即即③联立②③得，由柯西不等式得即（即，当且仅当时取等号，故选A例3．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．C．D．解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.