浙江省东阳中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．如图所示的组合体，其结构特征是（）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的2．设命题：所有矩形都是平行四边形，则（）A．所有矩形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是矩形C．有的矩形不是平行四边形D．不是矩形的四边形不是平行四边形3．设，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线与椭圆有相同焦点，则＝（）A．1B．3C．4D．55.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若∥，∥，则∥，B．若∥，⊂，⊂，则∥C．若⊥，⊥，则∥D．若⊥，∥，∥，则⊥6.如图，在直棱柱中,,为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的正切值为（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE7.圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）A．1B．C．2D．8．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A．1B．2C．D．49．椭圆的焦点，长轴长为，在椭圆上存在点，使，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若∥面，则线段的长度范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．命题“若a＞b，则的逆否命题是，且命题是（真、假）命题．12．双曲线的离心率为，渐近线方程为．13.在空间四边形中，若,点分别为线段的中点，则，的坐标为．14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是全等的等腰三角形，则该几何体的体积是，该几何体的外接球的表面积是．15．正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为．16．一个三棱锥的6条棱中有5条棱长是1，一条棱长是x，则该三棱锥的体积最大值是．17．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A、B两点，当的周长最大时，的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，求的值．19．如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，，点D是BC的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角,（是指不超过90°的角）的余弦值．20．已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.21．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°．（1）求证：；（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值．22．如图,为椭圆的下顶点,过点的直线交抛物线于两点,是的中点.(1)求证:点的纵坐标是定值;(2)过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时,的面积最大？并求面积的最大值.东阳中学2020年下学期期中考试答案（高二数学）一．选择题（共10小题）1．D．2．C3．A4．A5．D．6．C7．B8．B9.A10．D[难题解析]8．解：抛物线的准线方程为x＝﹣1．设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|＝|PF|．∴＝sin∠PAQ．∴当PA与抛物线y2＝4x相切时，∠PAQ最小，即取得最小值．设过A点的直线y＝kx+k与抛物线相切（k≠0），代入抛物线方程得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1．即x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2．∴P（1，2）或P（1，﹣2）．∴|PF|＝2．故选：B．9．A解：要使在椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，设∠F1PF2＝2α，只需最大的角大于等于90°即可，当P坐标为（0，b）或（0，﹣b）时，角最大，当α＝45°，此时sinα＝，故.∵在圆C上存在两点M，N，在直线y＝a上存在一点Q，使得∠MQN＝90°，即在直线y＝a上存在一点Q，使得Q到圆的圆心（0，1）的距离等于a﹣1＝2，∴只需（0，1）到直线y＝a的距离小于或等于2，即a﹣1