常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的基本方法微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)基础微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下等。偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水的流动(liúdòng)，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分，而积分出现(chūxiàn)任意常数，因此方程的解不唯一，需要附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称为定解条件。导数的意义：瞬时变化率在实际上我们遇到的描述变化的词有速率(物理(wùlǐ))增长率(经济，生物，人口等)衰变(原子反应)边际的(经济)微分方程的建模方法(fāngfǎ)：(1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方程)。(2)微元法。如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵(jǔzhèn)的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点，如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的平衡点。稳定的平衡点的实际意义：如果微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的解，则当t时，x(t)趋向于某个稳定的平衡点。例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式(xíngshì)贮存的热量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这个人体重的变化。常微分方程建模的物理(wùlǐ)方法分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的传导从温度(wēndù)高的地方向温度(wēndù)低的地方传导，单位时间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距离成反比。即对于两个固定热源，距离d是常数，则问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液(róngyè)，将一个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液(róngyè)中。求溶液(róngyè)温度的变化规律。(平均温度)动力学：牛顿第二定律能量守恒定律欧拉-拉格朗日方程(fāngchéng)空气和水的阻力(1)利用Newton定律f=ma得到即(2)利用能量方程(fāngchéng)建模。设=0的点为零势点则等式两边求导数则得到第一个方程(fāngchéng)。例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。底部有一个(yīɡè)直径0.02米的孔。(1)水多长时间可以流光？(2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m的高度。求水流喷出距离的变化规律。练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥(yuánzhuī))或球形的，计算水深的变化规律。练习题：1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本书，而图书馆每周收回所借图书的10%。几年后，这个教师手中有大约多少本图书馆的书？2、某学院的教育基金，最初(zuìchū)投资P元，以后按利率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数量。另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20%用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？2004C题饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨(línɡchén)2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会