对二元二次不定方程解法的探讨院－系：教师教育学院专业：小学教育年级：2009级学生姓名:张建丽，董雪娇，杨汝，李蓓学号：第十四组导师及职称：杜先存2011年12月二元二次不定方程解法探讨摘要：在实际生活中，许多问题往往归结为不定方程求解。同时，不定方程与其它学科如组合数学、运筹学、几何等也有着密切的联系，故研究不定方程有及大的实用价值。本文主要介绍二元二次不定方程的解法。关键词：不定方程，二元二次，解法。二次不定方程的一般形式：（皆非零），以此形式来研究其解法。一、二元二次不定方程解的情况：（1）无解例的整数解。解：因为是整数，故必须是完全平方数，为了找出取哪些整数值时为完全平方数，不妨对作如下变形：或由此可知当且仅当＜＜时才可能非负，对＜＜的整数逐一检验，相应的均非完全平方数，故方程无解。（2）有限组解。例解：看成的二次方程得：因或故只有＜＜时，才可能非负，对＜＜的整数逐一检验只有、时，、才是完全平方数，故原方程有且仅有四组整数解：（3）有无穷多解例求的整数解。解：因式分解得：故由或易知原方程有无穷多组整数解。二、二元二次不定方程的解法：（1）一般方法（又名判别式法）：将它看作某一未知数（如）的一元二次方程，由求根公式求解，并由“另一未知数（如）的取值必须使被开方数为平方数”的原则找到该未知数的取值（可将变形或解缩小的取值范围，再试验。）从而求出另一变元进而取得原方程的整数解。（2）特殊解法：对特殊的二元二次不定方程式可化为二元二次不定方程的方程往往有特殊解法，有观察法，因式分解法，分离分式法，奇偶分析法，换元法，配方法，同余法等。（一）、因式分解及因式组合法。对于可化为(是整数的形式的不定方程可用因式分解及因式组合求解)。例若＞，求的整数解。解：分解因式得，有整数解且满足＞的方程组解之得整数解：二．判别式法。巧用判别式，简便快速解题。例求不定方程的整数解.解：将方程整理成关于x的一元二次方程判别式即因为为整数，所以0,1,2把0代入原方程中，得0或1把1代入原方程中，得0或2把2代入原方程中，得1或2所以不定方程的解为:三．奇偶分析法。例求，列表如下：奇奇偶偶偶偶偶偶奇偶奇奇偶奇奇奇因与同奇、同偶，则与均为偶数设，，代入原方程，得所以或，代入方程得解之得原方程的正整数解为：四.求根公式法。求根公式一直以来是一元二次方程的主要解法，把二元二次转化为已知的一元二次求解，即化未知为已知。例4.求的正整数解.解：把原方程看成的二元二次方程，因为所以只可能取5,4,3,2,1,0分别代入方程，求得正整数解为：法。若一个不定方程有整数解，它当然就有实数解。当方程的实数解集为有界集时，就能用这一必要条件确定整数解的界限，然后逐一检验以确定全部解。应着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式，进行解得估计。例6.求不定方程的全部整数解.解：假设方程有整数解，当然就有实数解。作为X的二次方程其判别式应非负，即可解得即，将y在这一范围内的整数逐一代入原方程检验（可首先检查上述判别式是否为完全平方数），从而得出方程的全部整数解为，例式求求出所有的整数解使得能够整除,其中.解：首先估计的范围。令则，注意到所以或若则________（1）显然，若，则，此时与（1）矛盾，因此,此时易知（当时，上式不成立）从而得出若，则_____________（2）于是有，否则（2）左边此时（2）式为易知，，从而得出的方程的整数解为六、同余法。求的整数解。解：利用同于，因为，所以令，，显然，对任意整数都不能被整除，故原方程无整数解。七、换元法。求的整数解。解：令有，因，故，令则，列表如下：K…-6-3036…P…-18-90918…Q…1223402094…(X,Y)…无解无解(0,0)(5,4)无解…舍去（0，0）或（5，4）八、解析法。形如：______________(1)当时的解。我们知道，当时，（1）表示一个椭圆形圆锥曲线，过它上任意一点的切线斜率为故过点的切线方程为注意到，解不定方程（1）（当）就是求适合条件（1）的整数对而（1）表示椭圆型圆锥曲线，那么，适合（1）的必在某一有限范围内且也在某一有限范围内。只要知道其中一个有限范围，利用实验法就可以求出不定方程（1）的解。不失一般性，假设（1）表示椭圆型圆锥曲线的图型如下图所示:从上图易知，适合条件（1）的任何实数对(X,Y)必满足因为（，0），（，0）是椭圆型圆锥曲线的平行y轴的焦点，故与y轴平行的切线的切点（，）从中求出的两个值，即为和，同理，与x轴平行