费马大定理的初等证明与商高不定方程的新解法陈剑涛（黄冈师范学院湖北黄冈438000）[内容摘要]本文通过一种简单的初等变换证明，若方程xnn+yz=n在n>2时有正整数解，则方程(1)p+−=nnnpq在n>2时必有正有理数解。但可以证明，在n为大于2的奇质数时，后一方程并无正有理数解，从而断定费马大定理是可以用巧妙的初等方法予以证明的。作为副产品，本文还得到了商高不定方程的一种同样巧妙的新解法。[关键词]费马大定理初等证明商高不定方程的新解法虽然让世人魂牵梦萦几个世纪的费马猜想或费马大定理已由英国数学家安德鲁·怀尔斯通过对谷山-志村猜想等的证明而给出了一个冗长、繁难的现代证明，但寻找某种费马所谓的巧妙的初等证明仍是学界一个难了的夙愿。其实早在1992年底，笔者即发现了一种对费马大定理的初等证明和对商高不定方程的一种新解法（后在一些数学界朋友的帮助下有所修改），结果显示，费马大定理确如其本人所言，是可以通过某种巧妙的初等方法予以证明的。费马（Fermat）在1637年提出猜想，认为方程xnn+=yzn……………（1）在n>2时无正整数解，其中n为自然数。此即已被怀尔斯证明了的费马猜想或费马大定理。但本文认为，该定理亦可用初等方法予以证明。用反证法。设n为大于2的任意正整数时，费马猜想不成立，即（1）式有正整数解，并设x,,yz是满足(,xy,)z=1的任意一组基础解（或称本原解），则显然有z>y和z>x成立。又因x≠y（若x=y，则方程（1）变成了zn=2xn之形式，已非我们要讨论的费马猜想了），故在,xy之中必有一个为更小。若设x为其中之更小者，则必有z≥x+2成立。令zx=+k（k为大于或等于2的正整数），则（1）式可写为xnn+=+yxk()n…………（2）因x,,yk均为正整数，故必有正有理数p,q存在，使x=pk,y=qk成立，代入上式，有pnnkqkpkk+=+=+nn()(1)npnkn……………（3）即此时必有正有理数p,q存在，使方程pqnn+=+(1)pn成立。亦即方程1(1)p+−=nnpqn……………（4）在n>2时有正有理数解。由此可知，欲证明费马猜想成立，只需证明在n>2时，（4）式没有p,q同时为正整数形式的正有理数解即可（若p,q均为正整数，则由（3）式知x,,yz必有公因数k>1，此与已设(,xyz,)=1相矛盾）。但可以证明，在n为大于2的奇质数时，（4）式既没有p,q均为既约分数形式的正有理数解，也没有p,q一为既约分数，一为正整数形式的正有理数解，从而证明了在n为大于2的奇质数时，费马猜想是正确的。结合n=4时费马猜想为真的已有结论，我们即可断定费马猜想确实是正确的，①并由此得到了一种对商高不定方程的全新解法。下面继续用反证法给出具体证明。首先可以证明，在n为大于2的奇质数时，（4）式不可能有p,q均为既约分数形式的正有理数解。设在n为大于2的奇质数时，（4）式有p,q均为既约分数形式的正有理数解bdp==,q（ac,均不等于1）。acbd将pq==,代入（4）式，展开整理后有ac11nn−−2n2n323nn−n−12n−−nnn1n−1nCbcCabcCabcnn++n+++=......Cabcacadn………（5）将上式两边同除以a，有Cb11nn−cn++Cb22nn−−cCab3nn3c+++=......Cnn−13a−−bcnann2can−2dn…………（6）annn上式等号两边，除左边首项外，其余各项均为正整数，故要求该项也必须为正整数。但因n−11n(,)ab=1，a不能整除b，故欲使该首项为正整数，只能有aCc|n。当我们根据算术基本定理，将cn写成其标准质因数分解形式nnc12ccikcnc1nc2ncinckcpppp==(12...ik...)pppp12...i...k（p12,pp...k为c的大于1的互异质因Cb11nn−c数）后可以看出，使aCc|1n为可能，从而使n为正整数的情况，有下列三种：na1（ⅰ）aC|n（ⅱ）ac|n（ⅲ）1mm12mmik，其中aCpp=ni12...p...pk1≤≤ii=,2,1,Lkincm但可以证明，在满足n为大于2的奇质数，p,q均为既约分数的条件下，上述情况均不2可能出现，分别证明如下：1（ⅰ）设a|Cn111因Cn为奇质数，且已设a≠1，故欲使aC|n为可能，只能有aC=n=n，将a=n代入（5）式，有11nn−−2n2nnn−12−−nnn1n−1nCbnnc++++