高一数学“每周一练”系列试题（19）1．若函数y＝f（x）的值域是[eq\f(1,2)，3]，求函数F（x）＝f（x）＋eq\f(1,f(x))的值域．2．已知函数y＝f（x）为奇函数，若f（3）－f（2）＝1，求f（－2）－f（－3）的值．3．已知函数f（x）＝2x－eq\f(a,x)的定义域为（0,1）（a为实数）．（1）当a＝－1时，求函数y＝f（x）的值域；（2）判断函数y＝f（x）的单调性（不必证明）；（3）若f（x）>5在（0,1）上恒成立，求a的取值范围．4．设f（x）＝ax2＋bx＋c，若6a＋2b＋c＝0，f（1）f（3）>0.（1）若a＝1，求f（2）的值；（2）求证：方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2，且3<x1＋x2<5.5．已知：f（x）＝lg（ax－bx）（a>1>b>0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；（3）若f（x）在（1，＋∞）内恒为正，试比较a－b与1的大小．参考答案1．解：令f（x）＝t，t∈[eq\f(1,2)，3]，问题转化为求函数y＝t＋eq\f(1,t)，t∈[eq\f(1,2)，3]的值域，因为函数y＝t＋eq\f(1,t)在[eq\f(1,2)，1]上递减，在[1,3]上递增，又t＝eq\f(1,2)时，y1＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2)；t＝3时，y2＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)；t＝1时，ymin＝1＋1＝2，∴y∈[2，eq\f(10,3)]．∴函数F（x）的值域为[2，eq\f(10,3)]．2．解：因为f（x）为奇函数，且f（3）－f（2）＝1，所以f（－2）－f（－3）＝f（3）－f（2）＝1，即f（－2）－f（－3）的值为1.3．解：（1）显然函数y＝f（x）的值域为[2eq\r(2)，＋∞]．（2）当a>0时y＝f（x）在（0,1）上为单调增函数．当a＝0时，f（x）＝2x在（0,1）上为单调增函数．当a<0时，f（x）＝2x＋eq\f(－a,x).当eq\r(－\f(a,2))≥1，即a∈（－∞，－2）时，y＝f（x）在（0,1）上为单调减函数．当eq\r(－\f(a,2))<1，即a∈（－2,0）时，（0,eq\r(－\f(a,2))）为y＝f（x）的单调减区间，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))，1))为y＝f（x）的单调增区间．（3）当x∈（0,1）时f（x）>5在定义域上恒成立，即a<2x2－5x在x∈（0,1）时恒成立．设g（x）＝2x2－5x，当x∈（0,1）时g（x）∈[－3,0]，只要a<－3即可，∴a的取值范围是（－∞，－3）．4．解：（1）∵6a＋2b＋c＝0，a＝1，∴f（2）＝4a＋2b＋c＝－2a＝－2.（2）证明：首先证明a≠0，∵f（1）f（3）＝（a＋b＋c）（9a＋3b＋c）＝－（5a＋b）（3a＋b）>0，若a＝0，则f（1）f（3）＝－b2≤0与已知矛盾，∴a≠0，其次证明二次方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2，∵f（2）＝4a＋2b＋c＝－2a，∴若a>0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c开口向上，此时f（2）<0.若a<0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c开口向下，此时f（2）>0.故二次函数图像必与x轴有两个不同的交点．∴二次方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2.（或利用Δ＝b2－4ac＝b2＋4a（6a＋2b）＝b2＋8ab＋24a2＝（b＋4a）2＋8a2>0来证明）∵a≠0，∴将不等式－（5a＋b）（3a＋b）>0两边同除以－a2得（eq\f(b,a)＋3）（eq\f(b,a)＋5）<0，∴－5<eq\f(b,a)<－3.∴3<x1＋x2＝－eq\f(b,a)<5.5．解：、（1）由ax－bx>0，得（eq\f(a,b)）x>1.∵eq\f(a,b)>1，∴x>0，∴f（x）的定义域为（0，＋∞）．（2）设x2>x1>0，∵a>1>b>0，∴ax2>ax1，bx1>bx2，－bx2>－bx1，∴ax2－bx2>ax1－bx1>0，∴eq\f(ax2－bx2,ax1－bx1)>1，∴f（x2）－f（x1）＝lgeq\f(ax2－bx2,ax1－bx1)>0