高一数学“每周一练”系列试题（31）（命题范围:几何概型）1．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图，并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被分成20个相等的扇形）．甲顾客购物花了120元，他获得购物券的概率是多少？他得到的100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？2．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,0≤y≤6.))表示的区域为A，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,x－y≥0.))表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率；（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）在区域B中的概率．3．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．（1）设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；（2）设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．4．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；（2）若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．5．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．参考答案1．解：转盘被等分成20个扇形，并且每一个顾客自由转动转盘，说明指针落在每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购物券的概率相同，获得100元、50元、20元购物券的概率也相同，因此游戏是公平的．这是一个几何概型问题．根据题意，甲顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次转动转盘的机会，由于转盘被等分成20个扇形，其中1个红色，2个黄色，4个绿色，因此对于甲顾客来说P（获得购物券）==;P（获得100元购物券）=;P（获得50元购物券）==;P（获得20元购物券）==．2．解：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P（M）＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)．（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B中的点有21个，故P（N）＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12)．3．解：（1）记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P（A）＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)．（2）依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{（x，y）|eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{（x，y）|其图形如图中的三角形OAD（阴影部分）又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A（3,0）、D（0，），∴三角形OAD的面积为S1=∴所求事件的概率为P=4．解：（1）因为a，b∈N，（a，b）可取（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）共9组．令函数f（x）＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f′（x）＝a＋bln2·2x．因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[－1,0]上是单调递增函数．f（x）在[－1,0]上的最小值为－a＋eq\f(b,2)－1．要使A∩B≠∅，只需－a＋eq\f(b,2)－1＜0，即2a－b＋2＞0．所以（a，b）只能取（0,1），（1,1），（