PAGE-4-课时分层作业(八)数列的通项与递推公式(建议用时：60分钟)一、选择题1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是()A.an＋1＝an＋n，n∈N*B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2B[由题可知an－an－1＝n(n≥2).]2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，此数列的第3项是()A.1B．eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．eq\f(5,8)C[a1＝1，a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2×2)＝eq\f(3,4).]3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为()A.an＝nB．an＝n＋1C.an＝2nD．an＝2n－1D[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A.103B．108eq\f(1,8)C.103eq\f(1,8)D．108D[根据题意结合二次函数的性质可得，an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f(29,2)n))＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))eq\s\up12(2)＋3＋eq\f(29×29,8).所以n＝7时，an＝108为最大值．]5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是()A.x100＝－a，S100＝2b－aB.x100＝－b，S100＝2b－aC.x100＝－b，S100＝b－aD.x100＝－a，S100＝b－aA[x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x100＝x4＝－a，∵x1＋x2＋…＋x6＝0，∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.]二、填空题6．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝eq\f(1,xn＋1)－1，则x2018等于．－eq\f(1,2)[∵x1＝1，∴x2＝－eq\f(1,2)，∴x3＝1，∴数列{xn}的周期为2，∴x2018＝x2＝－eq\f(1,2).]7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是．255[因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.]8．数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝．eq\f(1,2)[由an＋1＝eq\f(1,1－an)，得an＝1－eq\f(1,an＋1)，∵a8＝2，∴a7＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，…，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝eq\f(1,2).]三、解答题9．已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．[解]∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)，试求数列{an}的最大项．[解]假设第n项an为最大项，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋2）·\b\lc