课时分层作业(七)数列的递推公式(选学)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知数列{an}满足：a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n>1)，则a4等于()A.eq\f(4,5)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)C[由题知a2＝1－eq\f(1,a1)＝5，a3＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,a3)＝－eq\f(1,4).]2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()【导学号：12232124】A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]C[∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.]3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.eq\f(16,3)B．eq\f(13,3)C．4D．0D[∵an＝－3n2＋15n－18＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up8(2)＋eq\f(3,4)，因为n∈N＋所以当n＝2或3时，an最大．a2＝a3＝0.]4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an＝()【导学号：12232125】A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnnA[an＋1－an＝ln(1＋eq\f(1,n))＝lneq\f(n＋1,n)，∴an－an－1＝lneq\f(n,n－1)，an－1－an－2＝lneq\f(n－1,n－2)，…，a3－a2＝lneq\f(3,2)，a2－a1＝ln2.叠加后得an＝lneq\f(n,n－1)＋lneq\f(n－1,n－2)＋…＋lneq\f(3,2)＋ln2＋a1＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)×\f(n－1,n－2)×…×\f(3,2)×2))＋2＝lnn＋2.]5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2017＝()A．3B．－3C．6D．－6A[由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，∴a2017＝a1＝3.]二、填空题6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2018－a2017＝________.【导学号：12232126】2017[由已知得a2018－a2017－2017＝0，∴a2018－a2017＝2017.]7．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N＋都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.则a3，a5分别等于________．6,20[由题意，令m＝2，n＝1则a3＋a1＝2a2＋2，所以a3＝6，令m＝3，n＝1则a5＋a1＝2a3＋2×4，所以a5＝20.]8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.【导学号：12232127】2[∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝b＋m，,4＝b2＋m，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,m＝3.))∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]三、解答题9．已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．[解]法一：(叠加法)∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…an－an－1＝2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.法二：(迭代法)an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋(n－1)×2＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n－1，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.10．已知数