第五章内积空间与希尔伯特空间1内积与内积空间2由内积诱导的范数及由内积诱导的距离3线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件例1n维欧氏空间Rn按照内积l2按照由内积导出的范数例3L2[a,b]空间按照内积C[a,b]中范数不满足平行四边形公式，5内积空间中的极限6内积空间的完备化二、内积空间中的正交分解与投影定理1正交的概念定义6(正交补)设H是内积空间,MH,称集合M={x|xy,yM}为M在H中的正交补。定义10(正交分解与正交投影)设H是内积空间，MH是线性子空间，xH,如果存在x0M,x1M,使得x=x0+x1（1）则称x0为x在M上的正交投影，而称(1)式为x关于M的正交分解。M是H的线性子空间ym,ynM,有3)证明x0是x在M中的正交投影注：1)由定理的证明过程易知,只要M是H的完备子空间,而H本身不完备,定理结论也成立.从而上述正交分解式也唯一.2正交投影的应用——最佳逼近问题(2)最佳逼近问题的求解步骤：三、内积空间中的正交系与傅立叶级数2正交的性质定理7设H是内积空间，若M={e1,e2,..,en,…}H是标准正交系,则{e1,e2,…,en,…}是线性独立系，即{e1,e2,..,en,…}中的任何有限组是线性无关的。定理8设H是内积空间，{e1,e2,..,en,…}H是标准正交系，记Mn=span{e1,…,en}.yMnxn-yMnx-xnxn-y定理9(贝塞尔(Bessel)不等式)设H是内积空间,{e1,e2,..,en,…}H是标准正交系，则xH,有3内积空间中的傅立叶级数3)xH,x的Fourier系数cn=<x,en>(n=1,2,…)是平方可和的，即{cn}l2.4内积空间中的傅立叶级数的收敛性问题：对于n维欧氏空间而言，如果基向量的个数小于n,则空间中的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量没有选“完全”。此时不能保证Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的个数等于n时，才能认为基向量是“完全”的。定义9(完全的标准正交系)设H是内积空间，{en}(n=1,2,…)是H中的标准正交系，如果在H中不再存在于所有en(n=1,2,…)都正交的非零元素，即如果xH,xen(n=1,2,…),必有x=,则称{en}是H中的完全标准正交系。(4)xH,Parseval等式成立。五、可分希尔伯特空间注:(1)欧式空间Rn任可以看作是有限维可分的希尔伯特空间的模型；(2)l2空间可以看作是无限维可分的希尔伯特空间的模型。(3)对可分的希尔伯特空间的研究可以转化为对Rn或l2的研究，要研究某可分的希尔伯特空间中的函数，只要研究该函数的傅立叶系数就够了。