§1向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n维向量令则称[x,y]为向量x和y的内积．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顾：线段的长度向量的长度向量的长度向量的正交性定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．定理：若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=0（零向量），那么0=[a1,0]=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr[a1,ar]=k1[a1,a1]+0+…+0=k1||a1||2从而k1=0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．例：已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交．分析：显然a1⊥a2．解：设a3=(x1,x2,x3)T，若a1⊥a3，a2⊥a3，则[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2Ta3=x1－2x2+x3=0得从而有基础解系，令．定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V中的一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基．例：是R4的一个规范正交基．也是R4的一个规范正交基．设e1,e2,…,er是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地，若e1,e2,…,er是V的一个规范正交基，则问题：向量空间V中的一个基a1,a2,…,ar向量空间V中的一个规范正交基e1,e2,…,erb1第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar是向量空间V中的一个基，那么令于是b1,b2,…,br两两正交，并且与a1,a2,…,ar等价，即b1,b2,…,br是向量空间V中的一个正交基．特别地，b1,…,bk与a1,…,ak等价（1≤k≤r）．第二步：单位化设b1,b2,…,br是向量空间V中的一个正交基，那么令因为从而e1,e2,…,er是向量空间V中的一个规范正交基．例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解：第一步正交化，取例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解：第二步单位化，令例：已知，试求非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交.解：若a1⊥a2，a1⊥a3，则[a1,a2]=a1Ta2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0即a2,a3应满足方程x1+x2+x3=0．基础解系为把基础解系正交化即为所求．定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交．即A的列向量组构成Rn的规范正交基．方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量都是单位向量，且两两正交．例：正交矩阵表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.