平面向量得内积【教学目标】知识目标:(1)了解平面向量内积得概念及其几何意义、(2)了解平面向量内积得计算公式、为利用向量得内积研究有关问题奠定基础.能力目标:通过实例引出向量内积得定义,培养学生观察与归纳得能力.【教学重点】平面向量数量积得概念及计算公式、【教学难点】数量积得概念及利用数量积来计算两个非零向量得夹角.【教学设计】教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积得概念、需要强调力与位移都就是向量,而功就是数量、因此,向量得内积又叫做数量积。在讲述向量内积时要注意:(1)向量得数量积就是一个数量,而不就是向量,它得值为两向量得模与两向量得夹角余弦得乘积。其符号就是由夹角决定;(2)向量数量积得正确书写方法就是用实心圆点连接两个向量。教材中利用定义得到内积得性质后面得学习中会经常遇到,其中:(1)当〈a,b>＝0时,a·b=｜ａ｜|ｂ|;当<a,b>=时,a·ｂ=-｜a|｜ｂ|。可以记忆为:两个共线向量,方向相同时内积为这两个向量模得积;方向相反时内积为这两个向量模得积得相反数.(２)｜ａ|＝显示出向量与向量得模得关系,就是得到利用向量得坐标计算向量模得公式得基础;(3)ｃos〈a,b〉=,就是得到利用两个向量得坐标计算两个向量所成角得公式得基础;(4)“a·b＝０aｂ”经常用来研究向量垂直问题,就是推出两个向量内积坐标表示得重要基础.【教学备品】教学课件、【课时安排】2课时.(８0分钟)【教学过程】＊揭示课题7。3平面向量得内积*创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图７－21所示,水平地面上有一辆车,某人用1０0N得力,朝着与水平线成角得方向拉小车,使小车前进了1００ｍ.那么,这个人做了多少功？动脑思考探索新知【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力得方向上移动得距离得乘积.如图7－22所示,设水平方向得单位向量为ｉ,垂直方向得单位向量为j,则ｉ＋yj,即力F就是水平方向得力与垂直方向得力得与,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生得位移为s,即W＝|F｜cos·｜s｜=100×·10＝5０0(J)OxijF(x,y)yBAO图7－23ab这里,力F与位移s都就是向量,而功W就是一个数量,它等于由两个向量F,s得模及它们得夹角得余弦得乘积,Ｗ叫做向量F与向量s得内积,它就是一个数量,又叫做数量积。如图７－２3,设有两个非零向量a,b,作=a,=b,由射线OA与OB所形成得角叫做向量a与向量b得夹角,记作〈a,ｂ>。两个向量a,ｂ得模与它们得夹角得余弦之积叫做向量a与向量b得内积,记作ａ·b,即a·ｂ＝｜a||b｜cos<ａ,b＞(７.10)上面得问题中,人所做得功可以记作W＝Ｆ·s。由内积得定义可知ａ·０=0,０·a=0、由内积得定义可以得到下面几个重要结果:当<ａ,b>＝0时,a·ｂ＝|a｜｜b｜;当＜a,ｂ＞＝时,ａ·b=−｜a|｜b|、cｏs<a,b＞＝.当b＝a时,有＜a,ａ>＝0,所以ａ·a＝｜a|｜a|=｜a｜2,即|a|＝。当时,ab,因此,a·b＝因此对非零向量a,b,有ａ·b=0ab、可以验证,向量得内积满足下面得运算律:a·ｂ=ｂ·a。()·ｂ=(a·ｂ)=a·(b)、(a＋b)·c=a·c＋b·c、注意:一般地,向量得内积不满足结合律,即a·(ｂ·c)≠(a·ｂ)·c。请结合实例进行验证。*巩固知识典型例题例1已知|ａ｜=3,｜b|＝2,〈a,b>=,求a·b。解ａ·b＝｜ａ||b｜cｏs<ａ,b>=3×2×ｃos＝３.例2已知｜ａ|＝|ｂ｜＝,a·b=,求〈a,ｂ〉、解cos〈a,b〉===−、由于0≤〈a,ｂ〉≤,所以＜a,b>＝.*理论升华整体建构思考并回答下面得问题:平面向量内积得概念、几何意义？结论:两个向量a,ｂ得模与它们得夹角得余弦之积叫做向量a与向量ｂ得内积,记作a·ｂ,即ａ·b=｜a｜|b|coｓ<a,ｂ>(7、1０)a·b得几何意义就就是向量a得模与向量b在向量a上得投影得乘积。知识典型例题例3求下列向量得内积:a=(2,−3),b=(１,3);运用知识强化练习１、已知｜a｜=7,｜b｜=4,a与b得夹角为,求a·ｂ。２、已知a·a＝9,求｜a｜.3.已知｜a｜=2,｜ｂ｜＝3,〈a,b＞＝,求(2a+b)·ｂ、动脑思考探索新知设平面向量a=(x1,ｙ1),b＝(x2,ｙ2),ｉ,j分别为x轴,y轴上得单位向量,由于i⊥j,故i·j＝0,又｜i|=|ｊ|=1,所以ａ·b=(x１i＋y1j)·(x2i+y2j)=x1ｘ2ｉ•i＋x1y2i•ｊ+x2ｙ１i•ｊ＋y1y2j•j=