第１５卷第４期高等数学研究Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．４２０１２年７月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪｕｌ．，２０１２基于罗尔定理证明命题的一般方法及其应用程惠东１，尹佐元２，赵义军１（１．山东科技大学理学院，山东青岛２６６５１０；２．山东科技大学信电学院，山东青岛２６６５１０）摘要针对应用罗尔定理证明有关函数及其导函数之间关系的两类一般性数学命题，给出求解此类问题的一般性原理，并借助实例说明其应用．关键词罗尔定理；导数；关系中图分类号Ｏ１７２．１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１２）０４－０１１０－０２罗尔定理是微分学重要的基本定理之一，是研从而有究函数性质的有力工具，它在研究函数性态及其有ｆ′（ｘ）＝－ｌ，［１］（）关证明的问题中，具有重要的作用．我们通过多年ｆｘ解此微分方程可得的教学经验，总结归纳了应用罗尔定理证明有关函ｌｘ数及其导函数之间关系问题的两类数学命题，并通ｆ（ｘ）ｅ＝Ｃ，由此可得到满足（）（）的辅助函数过实例说明其应用．ｆ′ｘ＋ｌｆｘ＝０（）（）ｌｘ命题１设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，（ａ，ｂ）内可Ｆｘ＝ｆｘｅ．证明如上分析构造辅助函数，由命题条件可导，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，则下列各结论皆成立．存在使验证，Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的三个条件，故由罗尔定（１）ξ１∈（ａ，ｂ），理知结论（１）成立．ｆ′（ξ１）＋ｌｆ（ξ１）＝０，类似地，分别设其中ｌ为实常数．ｋ存在使Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅｘ，（２）ξ２∈（ａ，ｂ），ｋ－１ｇ（ｘ）ｄｘｆ′（ξ２）＋ｋξ２ｆ（ξ２）＝０，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ∫，其中ｋ为非零常数．利用罗尔定理可证结论（２）（３）成立．存在使上述证明过程可推广为构造辅助函数的方法（３）ξ３∈（ａ，ｂ），．设在某区间上可导具有原函数ｆ′（ξ３）＋ｇ（ξ３）ｆ（ξ３）＝０，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）其中ｇ（ｘ）为连续函数．Ｇ（ｘ），那么由命题设在上皆连续Ｇ（ｘ）Ｇ（ｘ）２ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）［ａ，ｂ］，［ｆ（ｘ）ｅ］′＝［ｆ′（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）］ｅ（ａ，ｂ）内皆可导，且ｆ（ａ）＝０，ｇ（ｂ）＝０，则存看到在使Ｇ（ｘ）ξ∈（ａ，ｂ），Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ（）ｆ′（ξ）ｇ（ξ）＋ｆ（ξ）ｇ′（ξ）＝０．是［ｆ′（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）］ｅＧｘ的一个原函数．分析利用罗尔定理证明命题的关键是如何原理１在罗尔定理的应用中，证明形如构造辅助函数使它与有关而且满足区Ｆ（ｘ），ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＝０间上罗尔定理的三个条件从就能得到我们，Ｆ′（ξ）的结论，可选用辅助函数所要证明的结论构造辅助函数的方法如下Ｇ（ｘ）．Ｆ（ｘ）．Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ．在命题的问题中令得到１（１），ξ１＝ｘ，类似地，由于ｆ′（ｘ）＋ｌｆ（ｘ）＝０，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）的一个原函数．故有以收稿日期：；修改日期：２０１０－０８－０１２０１２－０５－１０下原理基金项目：山东省高等学校教学改革研究项目（２００９２２１）；山东科技．大学“群星计划”项目（ｑｘ１０２１０２）原理２在罗尔定理的应用中，证明形如作者简介：程惠东（），女，山东平阴人，副教授，从事数学教学１９６４－ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｇ′（ｘ）ｆ（ｘ）＝０和应用数学的研究．Ｅｍａｉｌ：ｃｈｄ５１７＠１２６．ｃｏｍ的结论，可选用辅助函数尹佐元（１９９０－），男，山东泰安人，２００９级电气工程及其自动化专业本科在读．Ｅｍａｉｌ：ｙｚｙ９００５１７＠１２６．ｃｏｍＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）．第１５卷第４期程惠东，尹佐元，赵义军：基于罗尔定理证明命题的一般方法及其应用１１１例１设（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可（ａ）（）′（）ｆｆ－ｆξｆξ．（）（）＝（）导，ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝１，试证：对任意实数λ，存ｇξ－ｇｂｇ′ξ在使得分析将待证结果变形，并作替换＝ｘ，得ξ∈（０，１），ξｆ（ａ）ｇ′（ｘ）＋ｇ（ｂ）ｆ′（ｘ）－ｆ′（ξ）－λ［ｆ（ξ）－ξ］＝１．（）（）（）（），分析将该题中的待证结果变形为ｆｘｇ′ｘ－ｆ′ｘｇｘ＝０也即ｆ′（ξ）－１－λ［ｆ（ξ）－ξ］＝０，［（）（）（）（）（）（）］可知此式与命题１中的结论（１）类似．利用原理１，ｆａｇｘ＋ｇｂｆｘ－ｆｘｇｘ′＝０．易知上式是命题的情形由原理可获证明得如下证明．２．２．证明构造辅助函数证明构造辅助函数ｘ（）（）（）（）（）（）（），Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）－ｘ］ｅ－λ，Ｆｘ＝ｆａｇｘ＋ｇｂｆｘ－ｆｘｇｘ由已知条件，（）在闭区间［，］上满足罗尔定理由已知条件，