一、选择题3.方程组有解:[].2.行列式中元素a11的代数余子式等于[].M41+M42+M43+M44三、解答题3、计算下列行列式解解按第一列展开,有解按第一列展开,有解n=1时=6(n3)!解解解解构造n+1阶Vandermonde行列式可见,Dn就是D的余子式Mn,n+1.4.解下列方程式解将行列式按第一行展开可见,此方程式是关于x的n-1次多项式方程.所以方程应该有n-1个解.解将行列式2~n列都减去第1列可得5.利用Laplace展开定理计算下列行列式解按一、二行展开，再按一、二行展开可得：6.用Cramer法则解下列方程组解因为所以,方程组的解为:x1=1,x2=-1,x3=0,x4=2.解由已知有x＝D1/D=1，所以解取=AB=(0,3),=AC=(2,2),则有即：x-y+z=2.1.设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若|A|＝2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为[].2.设A为3阶矩阵,将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行和第三行得单位矩阵,记,则A=[].5.设F,G都是4阶方阵,且|F|=2,|G|=-5,则|-3FG|等于[].6.n阶矩阵A满足A2＝O,E为n阶单位矩阵,则[].二.填空题解因为4.设1,2,3,,均为4×1矩阵,A=(1,2,3,),B=(1,2,3,),且|A|=2,|B|=3,则|A-3B|=().三.解答题解令所以A6=(-E)(-E)=E,A12=E4.设,求(P-1AP)n,An(n为正整数).解利用分块对角矩阵求逆公式可得解因为所以，6.已知X=AX+B,其中求矩阵X.解由于A*=|A|A－1=aA－1,所以9.设A是n阶方阵,满足Am=E,其中m是正整数,E为n阶单位矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明(A*)m=E.11.设A,B为3阶方阵,且|A|=3,|B|=2,|A－1+B|=2,求|A+B－1|.13.若A,B为n阶方阵,且E+AB可逆,试证14.若A,B为n阶方阵,且2A－1B＝B－4E,E是n阶单位矩阵,试证:A－2E是可逆矩阵.16.设方阵A满足A2＋A－3E=O,证明A－E和A+2E都可逆,并求(A－E)－1.解由于A的三行减二行2倍得B,所以P=E[3+2(-2)].18.设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q.用分块矩阵求:(1)AB;(2)BA;(3)AB-BA;(4)A-1.20.设对角矩阵A=diag(a1,a2,…,an),其中aiaj(ij),证明:与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.21.某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为3岁,将其分成三个年龄组:第一组,0～1岁;第二组,1～2岁;第三组,2～3岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4.假设农场现有三个年龄段的动物各1000只,问2年后和3年后农场三个年龄组的动物各有多少只?(A)该向量组的任何部分组必线性相关;(B)该向量组的任何部分组必线性无关；(C)该向量组的秩小于m;(D)该向量组的极大线性无关组是唯一的.3.向量组Ⅰ:1,2,…,s(s3)线性相关的充要条件是[].6.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则[].C1.设,则k=______时,1,2,3,4线性相关4.设向量组线性无关,则a,b,c必满足关系式.解(1)31+52－3=(1,4,－25,7)3.判断下列向量组的线性相关性：解因为4.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.解由于解只当1,2,3线性无关时,可由它们唯一表示.又由于证明(1)如果有某个ki=0，则有(2)由于l1≠0,由(1)知l1,l2,…,lm都不为零.证明因为01+…+1i+…+(-1)j+…+0m=0证明只证必要性：设1,2,…,s线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使得k11＋k22＋…＋kss＝010.设1,2,…,n线性无关,问向量组:1+2,2+3,…,n-1+n,n+1是线性相关,还是线性无关?并给出证明.12.设1,2,…,n是一组n维向量,已知n维标准单位向量组能由它们线性表示,证明1,2,…,n线性无关.14.将向量组1＝(1,1,0)T,2=(0,2,1)T,3=(0,0,3)T正交规范化.15.设1＝(1,0,2,3)T,2=(1,1,3,5)T,3=(1,-1,a+2,1)T,4=(1,2,4,a+8)T