PAGE三PAGE十七MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter1Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r1\h\*MERGEFORMAT云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：讨论单变量微分相关知识学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：刘发展20111050063任课教师：何青海老师时间：2011-12-4摘要对单变量微分学进行论述，首先熟知导数的定义及熟练地掌握求导法则准确记忆初等函数的导数公式；其次，熟知微分的定义，运用导数对微分进行运算，准确的掌握中值定理、泰勒公式平学会运用，运用导数求函数的单调性、凸性与极值。关键词：导数的定义及几何意义函数的求导法则初等函数的导数公式不可导函数的几个例子微分的定义及运算高阶导数与高解微分微分学的基本定理函数的单调性、凸性与极值平面曲线的曲率待定型一、导数的定义及几何意义导数的定义设有函数在附近有定义，对应于自变量的任一改变量，函数的改变量为。此时，如果极限存在，则称此极限值为函数在点的导数（也叫微商），记为，这是我们就说在点的导数存在，或者说在点可导。从定义可知，导数由值所决定，如果用D表示的可导范围，则对于D中的每一个值都唯一地确定一个值。因此函数的导数仍然是自变量的一个函数，也称为函数的导数，记为（），即。如果在点可导，则在点的右导数与左导数相等显然：在点可导的充要条件是在该点的左、右导数都存在且相等。可导一定连续；不连续一定不可导。若在区间（）的每一点都可导，则称在区间（）可导。若在开区间（）可导，且及都存在，则称在区间可导。二、函数的求导法则反函数的导数：例：若，求（对数求导法），两边求导，所以隐函数的求导法例1：若是方程所确定的函数，求。解：对方程两边求导，就有即例2：求曲线在点的切线方程和发现方程。解：在方程两边求导，有所以把代入，得于是切线方程是，即法线方程是即。参数方程所表示的函数的求导法例：椭圆的参数方程求解：于是有由此可知，当时，，即在点椭圆有水平切线。三、初等函数的求导公式例：设求解：四、不可导函数的例子例1：设按定义有因此，，即不存在；但显然，即在点连续，则可说明函数不可导。例2：函数显然即在点连续。但是所以不存在，事实上，此时有则说明函数不可导。例3：函数由于无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量，所以即在点连续。但是。此时而当时（不论是或是），没有极限，故不存在。五、微分的定义及运算（一）微分的定义若是定义在某一区间上的函数，当给自变量以一个改变量时，相应的函数有改变量考察它是否可以分成如下两部分其中是的函数，而与无关；如果这种表达时可能的，那么我们就称在点是可微的，并且把上式右端的第一项称为在点的微分，记为或，即由于是的线性函数，并且当充分小时我们就称是的线性主部，即是的线性主部。现在，讨论函数的可微性与可导之间的关系若在点可微，即有于是在等式两边令得，这就是说极限存在且等于。由导数定义，此极限就是因此有从而有反之，若在点可导，那么有即对一元函数而言函数的可微性与可导性是等价的。且有关系式（二）微分的运算法则例：设，求函数的导数解：六、高阶导数与高阶微分高阶导数的运算法则：莱布尼斯公式：七、微分学的基本定理（一）中值定理费马定理若函数在点的某一邻域内有定义，并且在此邻域内恒有或者函数在点可导，则有（二）拉格朗日中值定理若函数满足在连续；在可导，则在内至少存在一点，使中值公式或拉格朗日中值公式：推论1若对内每一点都有，则在区间内为一常数。推论2若两函数及在内成立则在内(为一常数)。若在上有定义，且存在常数，使对上任意两点，成立，则说在上满足利普希茨条件。推论3若在上存在有界导数，则在满足利普希茨条件。柯西中值定理若与在闭区间上连续，在开区间内可导，并且则在内至少存在一点使（三）泰勒公式1，一阶导数近似计算有例：若则把代入，得于是得到的近似式上式中令有定理若在点的某个邻域内有直到阶连续导数，那么在此邻域内有（其中在与之间）这就是函数在点附近关于的幂函数展开式，也叫泰勒公式，式中叫做拉格朗日余项。拉格朗日余项：例：求极限解：利用泰勒公式，有于