数学竞赛中的代数问题李尚志北京航空航天大学友情提示:听课前请尽量自己做如下两套题.不是为了考察你的水平,而是为了让你在听课时有更大的收获.热身题1一.填空题:(10个小题共90分,每小题9分)221.设(x1;y1);(x2;y2);(x3;y3)是平面曲线x+y=2x−4y上任意三点.则A=x1y2−x2y1+x2y3−x3y2的最大值为.x2y22.椭圆+=1的内接8边形的最大面积为.a2b2pppp3.平面直角坐标系中,到定点(3;2012)与定直线x+5=0的距离之和等于15的点的轨迹形状是.4.多项式(xsin75◦+sin15◦)2012被x2+1除,余式为.5.平面上建立了直角坐标系,A;B是平面上两点.将OB绕原点O旋转直角到OB0.已知A;B0的坐标分别是(3;1)与(−2;2).则点B到直线OA的距离为.6.将空间直角坐标系的坐标轴绕某条直线旋转,使Ox轴旋转到Oy轴,Oy轴旋转到Oz轴.则旋转角度是.(求最小正角)7.在正方体ABCD−A0B0C0D0中,P是侧面BB0C0C内一动点,若P到直线BC与直线C0D0的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是8.某商场抽奖,中奖率为10%.以下第件事情发生的概率更大.(1)只抽一张就中奖.(2)连续抽20张,全部都不中.x2y29.椭圆+=1的面积为.(提示:将平面上每个点(x;y)变成(x;ky),则a2b2每个图形的面积变为原来的k倍.)10.方程x3=−i的全部解为(提示:利用棣美弗公式(cosα+isinα)n=cosnα+isinnα.)1二.解答题(3个小题共60分,每题20分)11.已知:平面直角坐标系中两点A;B的坐标分别为(a1;a2),(b1;b2).O是原点.将OB沿顺时针方向旋转直角得到OB0.(1)求∆OAB的面积.(2)求\AOB的角平分线上全部点的坐标.12.在一次智力测验中,老师给出了某个数列的前两项1,2,让学生填写第3项a3.有的学生填写a3=3,有的学生填写a3=4,老师均判为正确.另有一个学生填写a3=0,你认为正确吗?如果你认为正确,试给出数列的通项公式an=f(n)使它的前3项f(1);f(2);f(3)分别等于1;2;0.如果数列的前99项依次为1;2;:::;99,能否给出通项公式使第100项等于2013?13.(英文加密:)将26个英文字母a,b,c,:::,y,z依次用整数0;1;2;:::;24;25代表.设某个字母用整数X代表,则3X+7被26除得到的余数代表的字母就是被加密后的字母.将英文原文的每个字母用这个方式加密,就得到密文.(1)将原文day加密成密文.(2)根据密文zaj求原文.热身题2一.填空题:pp1.函数f(x;y)=4xsiny+41−xcosy的最大值为2.若干个正整数之和等于20,这些正整数的乘积的最大值为3.常数a;b使恒等式a(2x2+x+5)+b(x2+x+1)=x2−3x+13成立,则(a;b)=(;).4.设P是抛物线y2=2x上的点,Q是圆(x−5)2+y2=1上的点,则jPQj的最小值是.pp5.求实数x使y=(x−1)2+(x−4)2+(x+3)2+(x−2)2最小.p16.x是实数,函数y=1+x2−x的最小值为.(提示:将y看2成已知数,函数式看成以x为未知数的方程,求方程有实数解的条件.)7.在有理数范围内分解因式:x15−1=是奇数≤≤n+1则8.n,ak=k=an−k+1(1k2).asinα+asin2α+···+asinnα12n=tana1cosα+a2cos2α+···+ancosnα(提示:考虑向量a1(cosα;sinα)+···+an(cosnα;sinnα)的方向.)29.P是锐角\MON=α内固定点,jOPj=r.分别在角的两边OM;ON上选取点A;B使三角形∆PAB的周长p最短,则p=二.解答题2π2π10.记复数!=cos+isin.则1;!;!2;:::;!14是方程x15−1=0的1515全部15个不同的根,则x15−1在复数范围内有因式分解x15−1=(x−1)(x−!)(x−!2)···(x−!14).求证:x15−1的如下因式都是整系数多项式:510f1(x)=(x−!)(x−!);36912f2(x)=(x−!)(x−!)(x−!)(x−!);2478111314f3(x)=(x−!)(x−!)(x−!)(x−!)(x−!)(x−!)(x−!)(x−!)11.蜜蜂的蜂巢的每个蜂房的形状可以由正六棱柱