（注：此文已经于今年6月发表在广东教育学院学报上，正式发表的文是此文的缩减，引用请以原文为准备）。多项式分拆初探刘保乾(西藏自治区人事厅信息中心，西藏拉萨850000)摘要：给出了不同对称类型多项式分拆基的统一构造方法，以逐步待定系数法为基础，编制了多项式统一分拆程序．关键词：多项式不等式；多项式分拆；逐步待定系数法中图分类号：O122.3文献标识码：A引言自文[1]提出3元对称式的schur统一分拆以来，多项式分拆研究日益受到重视.文[2]、[3]探讨了4元5次和4元6次对称式的分拆．文[4]讨论了生成分拆基及其它类型的分拆基．2005年9月7日，陈胜利在中国不等式研究小组网站(www.irgoc.org)解答笔者问题的过程中提出了多元schur分拆，并给出了分拆基通式（参阅文[4]）．随后笔者又提出了平方型分拆基、扩展基本不等式分拆基等，研究了对称式的结构性分拆．2006年6月，笔者发现，对于某些形式的对称式，由它产生的分拆基“录用率”特别高，我们称这类分拆基为高密度分拆基，简称高密基．进一步研究发现，对于用某些规则构造的多项式，可100%的被录用为分拆基，从而为难度甚大的分拆基个数估算问题的解决提供了一种途径．2006年7月，笔者通过试验的方法首先发现了能够统一分拆对称式和轮换对称式的通用分拆基即轮换对称分拆基．具体得到了３元３次轮换对称分拆基：[5]，g1=∑x(x-y)2,g2=∑y(x-y)2,g3=∑z(x-y)2.333(1)３元４次轮换对称分拆基：g1=∑xy(y-z)2;g2=∑xz(y-z)2;g3=∑y2(y-z)2;g4=∑x2(x-y)(x-z).3333(2)４元３次轮换对称分拆基：收稿日期：2007年1月15日作者简介：刘保乾（1962-），男，陕西凤翔人，西藏自治区人事厅信息中心工作人员g1=∑x1(x1-x2)2;g2=∑x3(x1-x2)2;g3=∑x4(x1-x2)2;g4=∑x1(x1-x2)2.4444sss(3)在(3)式中，∑g的含义是：4sgm4(g)=∑g(x1,x2,x3,x4)4=g(x1,x2,x3,x4)+g(x2,x3,x4,x1)+g(x3,x4,x1,x2)+g(x4,x1,x2,x3).(4)∑g的含义同于文[4],从而开始了轮换对称式的轮换对称分拆研究．4s2006年10月６日，陈胜利在中国不等式研究小组网站发贴探讨３元轮换对称式的轮换对称分拆问题，并得到了３元３次、３元４次轮换对称分拆基．笔者发现，陈先生的分拆基与笔者的轮换对称分拆基有相似的地方，譬如分拆基中都有对称式．在回贴中，笔者和陈胜利进行了交流讨论，并互相测试了一些分拆实例．陈先生得到的分拆基不全是非负的．例如有∑(x+y+z)(-y+z)(x-y)(x-z)等符号不确定的式子．3１初等对称多项式分拆基n元初等对称多项式是指型如σ1=x1+x1+???+xn=∑xi,σ2=x1x2+x1x3+???+xn?1xn=i=1n1≤i<j≤n∑nxixj,???,(5)σn=x1x2???xn.的对称式．由对称多项式基本定理[6]知，任何一个对称式均可用初等对称多项式表示出来，据此可以判定所构造的分拆基是否完备．由初等对称多项式构造的分拆基称为初等对称多项式分拆基，这种分拆基是验证其它分拆基的基础．例１试构造４元４次初等对称多项式分拆基．解4元初等对称多项式为：σ1=x1+x2+x3+x4;σ2=x1x2+x2x3+x3x4+x1x4+x1x3+x2x4;σ3=x1x2x3+x2x3x4+x3x4x1+x4x1x2;σ4=x1x2x3x4.故４元４次对称多项式可表示为(6)f(t,s,r,p)=σ4tσ3sσ2rσ1p.在(7)式中，4t+3s+2r+p=4．满足通式(7)的４元４次对称式为：(7)T1=f(1,0,0,0)=x1x2x3x4;T2=f(0,1,0,1)=(x1x2x3+x2x3x4+x3x4x1+x4x1x2)(x1+x2+x3+x4);T3=f(0,0,1,2)=(x1x2+x2x3+x3x4+x1x4+x1x3+x2x4)(x1+x2+x3+x4)2;T4=f(0,0,2,0)=(x1x2+x2x3+x3x4+x1x4+x1x3+x2x4)2;T5=f(0,0,0,4)=(x1+x2+x3+x4)4.(8)验证发现，Ti(i=1,2,3,4,5)是线性无关的．为了构造非负分拆基，考虑Ti?kiT1(i=2,3,4,5)，其中ki满足Ti?kiT1有零点(1,1,1,1)，这样又可以得