2006．年第14，16期数学通讯17用“分拆"的方法处理一类证明问题董培仁(盱眙中学，江苏211700)1．●西游记》的启示在比较∑n(或li，ar)与，(，z)的大小时，我们{≥z，·鲫i_l‘一‘成，z项——，(1)，，(2)一，(1)．，(3)一，(2)．⋯．一般考虑如何将∑n(或亓n)合并成有限几项的i1和(或积)的形式，技巧性都太强，思路不自然．也没))的葙的形式(或，(1)，·器·⋯有一般的处理方法．学生难以掌握．，兰)_的积的形式)．．《西游记》里的孙悟空．面对众多敌手时，往往是拔出一根毫毛．吹出众多小猴．与敌手一一对打．这样，比较n(或重口)与，(，z)的大小的问这启示我们在解决这一类问题时，可以转变思考方题，-．-／以转化为比较n与b的大小，i一1．2．⋯向．考虑如何将，(，z)拆成，z项的和(或积)的形式．下面举例说明这种芳法的应用．然后将对应项进行比较．2．“分拆”及其应用·4·5+⋯+，z·(，z+1)·(，z+2)=÷，z·(，z+1)设，(，z)一∑或亓．b)．则；1⋯f，(1)(n一1)证明设，(，z)一1，z·(，z+1)·(，z+2)(，z+I，(，z)一f(n一1)(，z≥2)3)一∑b．则b。一，(1)=1·2·3，当，z≥2时．得；点’A到平面a的距离d—licosBAc一0，．．．—Y，=3y．令Y一1．则一(1．1．3)，。lnl’．．一‘·___●_-__-——0点B到面GEF的距离为、lnl。一，例5已知ABCD是边长InIll‘为4的正方形，E、F分别为AB注·在求解空间距离时，若用向量方法．由数和AD的中点．过平面外一点G量积的几何意义可得距离的统一公式d—作GC上面ABCD于C，且GCL，即在n上的投影的绝对值其中在求一l—l一。。。。’2．求点B到面GEF的距离．凰3解·如图4，建立空间直角两条异面直线的距离时．n为与两异面直线的方向向坐标系：则G(O，0．2)．F(4，2．量都垂直的一个向量，A．B分别为两异面直线上的0)．E(2．4，0)，B(O，4．0)．。．任意两点；在求直线a到平面a的距离时，n为平面a亩一(2．一2．0)，一(2，的一个法向量．A．B分别为直线a与平面a内任意两4．一2)，亩；(2，0．0)．设面点；在求两平面的距离时，n为两平面的一法向量．GEF的法向量n一(．Y．z)．A．B分别为两平面内任意两点．则n．亩一0，n．一0．。图4，．．2x一2y一0．2x+4y一2z(收稿日期：2006—02—20J‘l数学通讯2006年第l4．16期b一厂(，1)一f(n—1)一÷，l·(n-4-1)·(n-4-√／4，l+干8n+4、√／4，l+干8，l+32)(，l+3)一寺(，l一1)n。(n-4-1)·(n-4-2)一即b<1+，所以，l·(，l+1)·(，l+2)，故1·2·3+2·3·4+3·4·5+⋯+(1+言(1+言)⋯··(1+Z，l十l)，l·(，l+1)·(，l+2)>bl·b2·⋯·b一bl+b2+b3+⋯+b一厂(，1)=÷~／2，l+3．一÷，l。(，l+1)·(，l+2)(，l+3)·3．要注意的问题例2若，l∈N，，l≥2，求证：1)分拆出的首项要单独考虑．l+1++1<21⋯_+．由一≥2，fr厂(1)(，l一1)1证明设厂()一2一一b，则6·一一厂(1)一1，当，l≥2时，{(≥2)岫b一厂(，1)一f(n—1)厂()分拆出的首项与其它项的表达形式不一样，因此分拆出的首项要单独考虑．一(2一)一(2—)2)厂(，1)不能为常数．ll由厂()分拆出的项b，应该随项的变化==一，l一1，l而变化，即b是的(非常数)函数，这样才能>一1一夕一7,／2．·将b与相应的项n进行比较．若，()为常数，分拆出的项除b。外，b：，b。，⋯，6^都为0，因为，l∈N，，l≥2，所以就不能用“分拆”的方法处理．如，由例2很容l+刍++⋯+1易知道“，l∈N，，l≥2时，1+嘉+嘉+⋯+<6l+62++⋯+6一一2一一1．<2成立”，但此题厂(，1)一2分拆出的b。，l例3着，l∈N，试证一2，b2一b3=⋯=b一0，而≤b并不，l一(1+÷)(i+告)．．”．(1+)成立，因此这样的问题不能用“分拆”的方法>1丽来证明．3)将厂(，1)分拆后，应该能够很容易比证明设厂(，1)一百1v~2+-3。：f『，较b与相应的项n的大小．如在“若，l∈N’，求证：+C：+⋯+C：：+⋯+C：一2一1”这个问题