平面与平面垂直的判定[A级基础巩固]1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．相等或互补解析：选D如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.此时两角互补；当∠BDC＝90°时，此时∠A＝∠BDC，两角相等．故选D.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1­BD­A的正切值等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．eq\r(3)解析：选C如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．设A1A＝a，则AO＝eq\f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).5.(多选)如图，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选ABD由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC(图略)，则BC＝eq\r(BD2＋DC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1.答案：18．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为________．解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6).∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1­BD­C的平面角．tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∴∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°.答案：30°9.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)法一：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.法二：因为AB∥DC，DC⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.10.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，