PAGEPAGE62．3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．直线与平面垂直的性质定理．eq\a\vs4\al(练习1：)正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，由于BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．eq\a\vs4\al(练习2：)直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的一切直线都不垂直对吗？答案：错►考虑运用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不必然．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面必然垂直吗？解析：不必然．只需垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个命题：①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A．①②B．③④C．②④D．①③4．如图，▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝eq\r(13)．解析：∵AF∥ED，AF⊥平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt△EDC中，ED＝2，CD＝3，∴CE＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).eq\x(基)eq\x(础)eq\x(达)eq\x(标)1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的地位关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥AB,l⊥AC))⇒l⊥a，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥BC,m⊥AC))⇒m⊥a.由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以下结论中不正确的是(C)A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PO⊥BDD．PA⊥BD3．已知平面α、β和直线m、l，则以下命题中正确的是(D)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的地位关系为__________．答案：a∥β或a⊂β或a与β相交5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：5eq\x(巩)eq\x(固)eq\x(提)eq\x(升)6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，∴AD＝eq\r(122＋42)＝4eq\r(10)(cm)．∵AC⊥l，AC⊂面α，α⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥Β.又AD⊂β，∴CA⊥AD.在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝4eq\r(10)，∴CD＝eq\r(32＋（4\r(10)）2)＝eq\r(169)＝13(cm)．7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B作BD⊥VA于D，∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，又∵BD∩VB＝B，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2)