新希望学校培训资料心在那里新的希望就在那里平面与平面垂直的判定与性质教学重、难点：1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。教学内容：要点一、二面角HYPERLINK"http://www.zxxk.com"1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2二面角的求法与画法HYPERLINK"http://www.zxxk.com"棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB–Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P–l–Q.3．计算二面角大小的方法（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。作二面角的平面角常用下列三种方法：①用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。②用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。③用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。3二面角的平面角HYPERLINK"http://www.zxxk.com"如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.HYPERLINK"http://www.zxxk.com"（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．解∵PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．解(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC∴BD⊥PC(三垂线定理)在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．在Rt△PAB中，由PA＝AB=a(2)过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB，∵AB∥CD∴PQ∥CD，PQ平面PCD∴平面PAB∩平面PCD于PQ∵PA⊥AB，AB∥PQ∴PA⊥PQ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)∵PQ∥CD∴PD⊥PQ所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角要点二、平面与平面垂直的判定HYPERLINK"http://www.zxxk.com"1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.HYPERLINK"http://www.zxxk.com"两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段