2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。11．曲线yxlne的渐近线方程为（）。x1A．y＝x＋eB．y＝x＋1/eC．y＝xD．y＝x－1/e【答案】B1【解析】由已知yxlne，则可得：x11xlneyx11klimlimlimlne1xxxxxx111blimykxlimxlnexlimxlne1xxx1xx11x1limxln1limxex1xex1e所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e。1,x02．函数fx1x2的原函数为（）。x1cosx,x0ln1x2x,x0A．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x1,x0B．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x,x0C．Fxx1sinxcosx,x0ln1x2x1,x0D．Fxx1sinxcosx,x0【答案】D【解析】当x≤0时，可得：dxfxdxlnx1x2C1x21当x＞0时，可得：fxdxx1cosxdxx1dsinxx1sinxsinxdxx1sinxcosxC2在x＝0处，有：limlnx1x2CC，limx1sinxcosxC1C1122x0x0由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C＝1＋C，令C＝C，则C＝1＋C，故1221ln1x2x1C,x0fxdxx1sinxcosxC,x0ln1x2x1,x0令C＝0，则f（x）的一个原函数为Fx。x1sinxcosx,x03．设数列{x}，{y}满足x＝y＝1/2，x＝sinx，y＝y2，当n→∞时（）。nn11n＋1nn＋1nA．x是y的高阶无穷小nnB．y是x的高阶无穷小nnC．x是y的等价无穷小nnD．x是y的同阶但非等价无穷小nn【答案】B【解析】由题意可知，{x}，{y}为单调递减且有界的数列，0≤x≤1/2，0≤y≤1/2。nnnn在（0，π/2）中，2x/π＜sinx，故x＝sinx＞2x/π。n＋1nny11且yy2n1yy，所以yy。n1nyn12n12nn1y2yynyny故n1nn1limn0。x2x4x4x4nxn1nn1n故y是x的高阶无穷小。nn4．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a，b的取值范围为（）。A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＞0C．a＝0，b＞0D．a＝0，b＜0【答案】C【解析】由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0。当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ，λ，则λ，λ至少有一个不等于零。1212xx若C、C都不为零，则微分方程的解为yCe1Ce2。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）1212上有界。当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2。1，2aaxx若C≠0，则微分方程的解为yCe2Ce2。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。212a4ba2当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为i。1,222a22x4ba4ba则通解为ye2CcosxCsinx。1222要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，结合Δ＝a2－4b＜0，可得b＞0。x2tt5．设函数y＝f（x）由确定，则（）。ytsintA．f（x）连续，f′（0）不存在B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0处不连续C．f′（x）连续，f′′（0）不存在D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0处不连续【答案】Cx3tdysinttc